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Partons au cœur de l'espace ! Au cours de ce chapitre, nous allons comprendre d'où vient le mouvement des planètes, et même calculer les forces (colossales) mises en jeu ! Sous ses beaux atours, ce cours vous réserve néanmoins quelques tours...

Mouvement circulaire uniforme

Derrière ce nom un peu pompeux se cache une notion très simple; pour la comprendre, décortiquons la phrase !

Mouvement circulaire uniforme

Mouvement : Il s'agit d'un déplacement, donc nous cherchons la forme d'une trajectoire.

Circulaire : "En cercle", c'est-à-dire que la trajectoire que nous cherchons est en forme de cercle.

Uniforme : Nous avons déjà rencontré ce terme à l'occasion de la première loi de Newton. Il s'agit de stipuler que la vitesse est toujours la même.

Si nous combinons ces trois critères, nous obtenons "un déplacement à vitesse constante dont la trajectoire est un cercle". Comme ici :

Vous noterez d'ailleurs qu'il y a 3 moyens de repérer un point sur cette trajectoire :

1. À l'aide des coordonnées cartésiennes, c'est à dire d'un couple (x;y) d'abscisse et d'ordonnée.
2. À l'aide de son abscisse angulaire θ (voir schéma)
3. À l'aide de son abscisse curviligne c, c'est-à-dire la distance entre un point choisi (le croisement entre l'axe des abscisses et la trajectoire, par exemple) et le point mobile M considéré.

Comme vous pouvez le voir, ce n'est pas le choix qui manque !

Vitesse

Sur ce genre de trajectoires, la vitesse peut facilement être calculée, grâce à l'abscisse curviligne. Si l'on considère que c est l'abscisse curviligne à un instant t, et c' la même abscisse à un instant t', alors on peut dire que c' = c + Δc, lorsque t' = t + Δt. D'après un raisonnement que vous connaissez bien, on peut dire :

`v = lim_(Deltat -> 0)(Deltac)/(Deltat) => v= (dc)/(dt)`

De cette formulation, somme toute banale (on est habitués, maintenant !), on peut déduire 2 choses.

• Comment est le vecteur vitesse par rapport à la trajectoire ? Tangent, normal (perpendiculaire), aucun des deux ?
• Le vecteur vitesse est-il constant ?

Puisqu'il s'agit de la dérivée de la trajectoire, le vecteur vitesse est, en tous points, tangent à la trajectoire.

Par contre, il n'est pas constant ! Sa norme est toujours la même (c'est un mouvement uniforme), mais sa direction change continuellement.

C'est un piège récurrent, et beaucoup se font avoir ! Alors, lorsque vous voyez des vecteurs, ouvrez grand les yeux; le piège n'est pas loin !

Lorsqu'on parle de mouvement circulaire (uniforme ou non), on utilise souvent un repère commode : le repère de Frenet.

Frenet est un mathématicien français qui a — entres autres — découvert plusieurs formules régissant les espaces courbes.

Ce repère à pour origine le point M mobile; c'est un repère en déplacement constant ! À cette origine, on ajoute deux vecteurs unitaires :

• Un vecteur unitaire `vectau`  orienté dans le sens de la trajectoire (parallèle au vecteur vitesse).
• Un vecteur unitaire `vecn`  normal (perpendiculaire) à la trajectoire, et orienté vers O, le centre de la cercle.

Je complète le schéma avec ce nouveau repère :

Le repère de Frenet

Dans ce nouveau repère, le vecteur vitesse vaut `v = (dc)/(dt)vectau` ! N'oubliez pas le vecteur unitaire `tau` !

Je bavarde, je bavarde, mais je ne vous ai toujours pas dit comment la calculer, cette abscisse curviligne ! Il s'agit de  c = rθ, où r est le rayon du cercle. Donc, la vitesse peut aussi s'exprimer comme :

`v = (drtheta)/(dt) = r(d.theta)/(dt)`

Or, `(d.theta)/(dt)`, c'est la vitesse angulaire, `omega` , qui s'exprime en rad.s^-1. In fine :

`v = romega`

Accélération

Maintenant que nous connaissons la vitesse, je vais vous demander de me faire confiance si je vous dis que l'accélération est normale (perpendiculaire) au vecteur vitesse et vaut, pour tout mouvement circulaire :

`vec(a) = v^2/rvecn + (dv)/(dt)vectau`

Or, ici, le mouvement est uniforme, la valeur de la vitesse est donc constante. Ainsi, `(dv)/(dt) = 0`. L'accélération devient du coup :

`vec(a) = v^2/r vec(n)`

Quant à la période de révolution, on peut la trouver si l'on se souvient de ses cours de Première. Effectivement, on y a apprend que `omega = 2pif`. Comme f (la fréquence)= `1/T` , on peut aisément substituer et trouver la période de révolution.

`T = (2pir)/v`

Je complète le schéma initial pour qu'il soit (enfin) complet :

Poursuivons ?

Mouvement des planètes autour du Soleil

Maintenant que ces jalons théoriques ont été (solidement !) posés, il est temps de s'attaquer au sujet qui nous amène : le mouvement des planètes du système Solaire !

La loi de la gravitation

Vous la connaissez depuis la Seconde, il s'agit de la loi gravitationnelle. Oui, celle qui n'est pas si difficile, mais qui fait un peu peur quand on la voit, et qui n'est pas toujours simple à retenir . Je ne vais pas vous faire retourner dans vos cours de Seconde (ce serait cruel !), et je vais vous rappeler cette formule. Elle s'applique ici pour deux corps A et B "à répartition sphérique de masse" (des boules, en langage commun ).

`vec(F_(A//B)) = -G(m_Am_B)/r^2vec(u_(AB))`

Dans cette formule, `vec(F_(A//B))` s'exprime, comme toute force, en Newtons. Les masses m_A et m_B s'expriment quant à elles en kilogrammes (attention, on n'est pas en chimie ! L'unité internationale de masse en Physique, c'est le kilogramme). Enfin, r représente la distance (en mètres) entre les corps A et B. Quant  à G, il s'agit de la constante gravitationnelle, et elle vaut 6,67.10^-11 N.m².kg^-2.

Une fois encore, `vec(u_(AB))`  n'est rien d'autre qu'un vecteur unitaire, dont nous avons déjà parlé dans le cours sur les mouvements de projectiles.

Histoire d'appliquer un peu cette formule (non pas qu'elle soit difficile), on va calculer la force d'attraction gravitationnelle entre la Terre et la Lune, OK ? La masse de la Terre vaut `5,97 . 10^24` kg, celle de la Lune `7,3 . 10^22` kg, et la distance qui les sépare est de (en moyenne) 384 500 km.

`vec(F_(T//L)) = -G(m_Tm_L)/(r^2)vec(u_(TL)) = (-6,67.10^-11) (5,97.10^(24).7,3.10^22)/(384500000)^2 = 1,97.10^20 N`

Comme vous pouvez le constater, c'est une force colossale !

Pour votre culture générale, sachez qu'en réalité, la théorie de la gravitation de Newton a été modifiée par celle de la relativité générale d'Einstein. Cette dernière suppose que la gravitation n'est pas une force en tant que telle mais correspond à une déformation de l'espace temps — le "tissu" qui compose l'espace. Selon cette théorie, plus un objet est lourd, plus il déforme l'espace-temps, et plus il est à même d'attirer d'autres objets plus petits. Une autre théorie, très récente, propose une autre vision : la gravitation ne serait qu'une illusion, un phénomène visible à grande échelle mais pas à l'échelle atomique. Elle serait causée par des flux d'information allant d'un point à un autre. Cette dernière théorie, si elle a le mérite de concilier gravitation et mécanique quantique (ce n'est pas le cas de la relativité générale), manque encore de fondements solides, et est amenée à être étayée dans les années à venir.

Étude du mouvement d'une planète

Je vous ai demandé d'admettre plusieurs choses lorsque nous avons parlé du mouvement circulaire uniforme. Nous allons à présent lever le voile sur ces points noirs ! Histoire d'avoir un fil conducteur, nous allons nous intéresser au mouvement d'une planète autour d'une étoile  . Je vais faire preuve d'originalité en choisissant...la Terre comme planète et le Soleil comme étoile;mais le raisonnement est applicable à n'importe quelle planète, à n'importe quelle étoile (en fait, à n'importe quel corps qui tourne autour d'un autre) !

Dans {Terre T}, il n'y a qu'une seule force agissant sur le système : il s'agit de la force de gravitation (avouez que vous l'aviez vue venir !), qui vaut ici :

`vec(F_(T//S)) = -G(m_Tm_S)/(r^2)vec(u_(TS))`

On peut considérer que c'est la seule force agissant sur le système. Pour ceux qui seraient tentés d'en trouver d'autres :

• Il n'y a pas de force de frottement : les deux objets évoluent dans le vide.
• Il n'y a pas de "poids" : c'est la force gravitationnelle qui joue ici ce rôle !
• ...

Vous pouvez me croire sur parole, il n'y a bien que cette force sur le système  !

Donc, d'après la seconde loi de Newton (s'il n'y en avait qu'une à retenir, ce serait elle !), on sait que `sumvec(F_(ext)) = mveca` . Dans notre cas, cela revient à dire que :

`-G(m_Tm_S)/(r^2)vec(u_(ST)) = m_Tveca`

Ici, on peut simplifier de part et d'autre par m_T, ce qui nous donne :

`-Gm_S/r^2vec(u_(TS)) = veca`

De ce résultat, on peut déduire que le vecteur accélération est radial, c'est-à-dire perpendiculaire à la trajectoire, et dirigé vers le centre du cercle.

Comment tu le déduis  ?

Grâce au vecteur unitaire bien sûr  ! L'équation ci-dessus nous précise une chose : les vecteurs `vec(u_(TS))` et `veca`  ont la même direction et le même sens—ils sont égaux. La seule chose qui change, c'est leur valeur (norme) : le vecteur accélération correspond à `-Gm_S/r^2` fois le vecteur `vec(u_(TS))` !

En réalité, un vecteur d'accélération radial n'est pas forcément synonyme de mouvement circulaire uniforme. Dans le cas des planètes autour du Soleil, il est en forme d'ellipse. Pour ceux qui ne connaîtraient pas, une ellipse, c'est ça :

Dans le cas du système solaire, les ellipses sont légèrement excentrées; cela veut dire qu'on a presque affaire à un cercle ! Le Soleil est l'un des foyers de l'ellipse. C'est la 1ère Loi de Képler.

Les foyers sont à l'ellipse ce que le centre est au cercle. Si vous souhaitiez dessiner une ellipse à partir de ces deux foyers, vous pourriez vous contenter de relier deux clous par une corde, de placer chaque clou sur un foyer, de tendre la corde à l'aide d'un crayon, et de tracer l'ellipse en gardant la corde tendue. Tout simplement !

Képler est un physicien du 18ème siècle, qui a énormément contribué à élargir nos connaissances sur les orbites des planètes du système solaire. Tous ces résultats découlent de tables de relevés effectués par son mentor, le danois Tycho Brahé. En conclusion de son étude, Képler annonce 3 lois. Nous venons de voir la première, et nous allons les découvrir au fur et à mesure de ce cours.

On bavarde, on bavarde, mais le temps passe ! Où en étais-je ? Ha ! Oui. Je voulais également vous dire que dans ce cours, on va considérer que les mouvements de planètes autour d'une étoile sont circulaires. Faites moi confiance, c'est plus pratique et on ne perd pas grand-chose ! Dans notre cas, le vecteur accélération est donc orienté vers le centre de la trajectoire : on dit qu'il est centripète.

On retombe alors dans le cas d'un mouvement circulaire, et l'accélération tangentielle est nulle. De ceci, on déduit (grâce à ce qu'on a dit dans la partie "Mouvement circulaire uniforme") que `(dv)/(dt) = 0` , et par conséquent que la vitesse est...constante  ! C'est le seul élément qui nous manquait pour dire que le mouvement était uniforme. On est donc bel et bien face à un mouvement circulaire uniforme.

Pouvez-vous en déduire l'expression du vecteur accélération ?

C'était pour tester votre mémoire . La réponse se trouve au début de ce cours ! Le mouvement étant circulaire et uniforme, l'accélération vaut :

`vec(a) = v^2/rvecn`

N'oubliez pas  `vecn` , vecteur normal à la trajectoire ! Ici, c'est lui qui joue le rôle de vecteur unitaire.

Je vous propose de chercher l'expression de la vitesse de la Terre autour du Soleil. En combinant ce résultat et ce qu'on a obtenu avec la deuxième loi de Newton, on obtient :

`-Gm_S/r^2vec(u_(ST)) = v^2/rvecn => -Gm_S/r^2vec(u_(ST)) = -v^2/rvec(u_(ST))`

Ici, j'ai simplement remplacé `vecn` par `-vec(u_(ST))`. Regardez mon schéma plus haut !

Quel intérêt ?

Maintenant, au lieu d'avoir 2 vecteurs dans notre égalité, nous n'en avons plus qu'un. C'est plus lisible, et ça simplifie l'égalité au final. Convaincus  ? Continuons alors !

`Gm_S/r^2 = v^2/r`

Rien de surprenant ici, je n'ai fait que simplifier par `-vec(u_(ST))` . Il ne nous reste plus qu'à extraire v pour obtenir son expression  !

`v = sqrt((Gm_S)/r)`

Simplissime, n'est-ce-pas ? Faisons le calcul pour calculer la vitesse de la Terre ; la masse du Soleil vaut 1,98.10³⁰ kg, et la distance Terre-Soleil 1,5.10⁸ km.

`v_(Terre) = sqrt((6,67.10^(-11)xx1,98.10^30)/(1,5.10^11)) = 29672 m//s ~~ 29,6 km//s`

Vous n'imaginiez pas aller si vite, hein  ?

Une chose assez cocasse à relever, c'est que la vitesse d'une planète...ne dépend pas de sa masse ! Si Jupiter était à 150 000 000 de km du Soleil, elle évoluerait à la même vitesse que la Terre...

Dans la même lignée (histoire de se faire la main), je vous propose de calculer la période de révolution de la Terre (comprenez : le temps mis pour faire le tour de son orbite). Simple, maintenant qu'on connaît la vitesse ! En calculs :

`T_T = (2pir)/v = (2pir)/(sqrt((Gm_S)/r))`

On va élever (temporairement) tout ça au carré, pour se débarrasser de cette racine peu commode.

`(T_T)^2 = ((2pir)/(sqrt((Gm_S)/r)))^2 = (4pi^2r^2)/((Gm_S)/r) = (4pi^2r^3)/(Gm_S)`

La période de révolution de la Terre ? Fastoche !

`T_T = sqrt((4pi^2r^3)/(Gm_S)) = 2pisqrt(r^3/(Gm_S))`

Notez, comme pour la vitesse, que la période de révolution ne dépend absolument pas de la masse de la planète !

Remarquez également que le rapport `T^2/r^3 = (4pi^2)/(Gm_S)` est constant. C'est d'ailleurs — remarquez comme je l'amène en douceur ! — la troisième loi de Képler.

Ho ? T'as pas zappé la deuxième là ?

Si. J'avoue que je n'ai pas trouvé de moyen de l'intégrer de manière fluide dans ce cours... Je vais donc vous la donner maintenant ! La deuxième loi de Képler précise que le vecteur qui relie le centre du Soleil eu centre de la Terre balaie des aires égales pendant des durées égales. Un schéma serait bienvenu, je pense :

La 2^ème loi précise donc que si t₁ = t₂, alors l'aire en vert est égale à l'aire en bleu. Ça s'éclaire, non ?

Mouvement de satellites autour de la Terre

C'est votre jour de chance. Non seulement cette partie est à 90% identique à la précédente, mais de surcroît, c'est la dernière de ce cours ! Jetons-nous allègrement dans les calculs  !

En fait, il n'y a que deux choses à modifier : la masse du Soleil devient la masse de la Terre, et la distance Terre-Soleil de notre exemple précédent se mue en la distance du centre de la Terre au satellite (soit le rayon de la Terre R_T plus la hauteur h du satellite).

Grâce à un raisonnement équivalent au précédent, on obtient :

• Pour la vitesse : `v = sqrt((Gm_T)/(R_T+h))`
• Pour la période de révolution : `T_L = (2pi(R_T+h))/(v) = sqrt((R_T+h)^3/(Gm_T))`

Je ne m'étends pas trop dessus ; encore une fois, le raisonnement est exactement le même !

Pour finir, je suppose que vous avez déjà entendu parler des satellites GPS; ceux-ci vous permettent de tracer un itinéraire, et, surtout, de trouver votre position !

Ces satellites, pour être efficaces, doivent être géostationnaires. Cela signifie que leur vitesse de rotation est égale à celle de la Terre : on a l'impression qu'ils sont immobiles, parce qu'ils avancent à la même vitesse !

Cette hauteur vaut environ 36000 km. Si vous le souhaitez, je vous laisse le soin de la calculer, toutes les formules et données sont au-dessus  !

La Galaxie vous a livré ses secrets ! Pour les plus curieux d'entre vous, rassurez-vous, elle en a d'autres...Certains n'ont toujours pas été résolus !

Je vous propose, de manière à nous diversifier, d'étudier les systèmes oscillants. C'est peut être le chapitre le plus compliqué de la section "Mécanique", alors ne vous découragez pas, prenez une grande inspiration...et en avant !