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Puisque la chute libre était simple, bien trop simple, je vous propose de corser un peu nos calculs avec l'étude des projectiles. Vous rêvez de pouvoir lancer un stylo à votre camarade/collègue en sachant qu'il le recevra à coup sûr ? Lisez ce chapitre !

Nota : Je me dégage de toute responsabilité en cas de trouble dans votre bureau/classe...

Rapides rappels

Histoire de commencer en douceur, et de ne brusquer personne (après tout, on est là pour apprendre tranquillement, pas pour apprendre toute la Physique en une heure !), je vais commencer par quelques rappels sur les vecteurs de vitesse et d'accélération.

Ceux qui se sentent parfaitement au point là dessus, vous pouvez directement passer à la partie 2, "Mouvement d'un projectile dans un champ de pesanteur uniforme". Au contraire, pour ceux qui trouvent que ça va trop vite, n'hésitez pas à aller jetez un oeil au cours précédents, ici et là. Il n'y a pas de honte à ça !

Retour sur...le vecteur vitesse

Imaginons un objet qui suit un mouvement quelconque, une bille sur une surface légèrement pentue, le stylo que vous venez de jeter sur votre voisin...Bref, peu importe en fait . On va dire que M représente la position de l'objet à l'instant t, et M' la position du même objet à l'instant t'. On se retrouve avec ce genre de situation :

Le vecteur vitesse, précisément, c'est une variation de position dans un temps donné (lorsque vous roulez à 80 kms/heure, votre position varie de 80 kms toutes les heures). Mathématiquement, cela donne une expression que l'on a déjà vue :

`vec(v) = lim_(Deltat ->0)vec(MM')/(Deltat)`

Comme toujours, la limite précise bien que cette loi est valable pour de très petits instants de temps ! Par exemple, regardez cette trajectoire :

Ici dire que le vecteur vitesse n'a pas changé entre M et M' est...une aberration .

Si l'on cadre notre objet - et sa trajectoire - dans un repère d'origine O (original, n'est-ce-pas ?), on arrive aisément au fait que `vec(MM') = vec(OM') - vec(OM)`. En images :

A tout instant, le vecteur `vec(OM)` répond au doux nom de vecteur position de l'objet.

A ce que je viens de dire, on peut ajouter la notion de variation du vecteur position : ainsi, `vec(OM') - vec(OM) = Deltavec(OM)`. C'est simplement une notation plus courte, et il est bien connu que les physiciens sont de grand feignants ! (Mais non les gars je plaisantais, pas taper...).

Alors, de manière condensée, le vecteur vitesse peut s'écrire comme ceci :

`vec(v) = lim_(Deltat -> 0)vec(MM')/(Deltat) =``lim_(Deltat -> 0)(vec(OM') - vec(OM))/(Deltat) = lim_(Deltat -> 0)(Deltavec(OM))/(Deltat)`

On en conclut que le vecteur vitesse n'est autre qu'une variation de la position au cours du temps (ce que nous avions déjà dit sous une autre forme lorsqu'on parlait de variation de distance). Donc :

`vec(v) = (dvec(OM))/(dt)`

Si l'on se place dans notre repère (O, `veci,vecj`) cela veut dire que le vecteur position s'exprime comme ceci :

`vec(OM) = xveci + yvecj`

Ne vous formalisez pas des `veci` et `vecj` ! Il s'agit simplement de vecteurs unitaires. Leur intérêt ? Ils imposent, en plus des valeurs de x et y, une direction. Ainsi, on peut lire les coordonnées de `vec(OM)` comme ceci : "Le point O c'est l'origine. Pour trouver le point M, déplacez vous de x cases dans le sens du vecteur i (ici : horizontal), et de y cases dans le sens du vecteur j (ici : vertical). Vous avez trouvé M , creusez pour déterrer le trésor ".

Je ne vous étonnerais donc plus en posant que le vecteur vitesse peut s'exprimer comme ceci :

`vec(v) = (d(xveci+yvecj))/(dt) = (dx)/(dt)veci + (dy)/(dt)vecj`

Pour ne pas finir avec des calculs kilométriques, je me suis restreint à 2 dimensions. Le raisonnement est tout à fait valable pour 3, 4, n dimensions ! Il vous suffit d'ajouter la nouvelle dimension...

Du fait de cette formulation, on peut rapidement constater que le vecteur vitesse est systématiquement tangent à la trajectoire. Bien sûr ! Il s'agit de la dérivée de la trajectoire, et on sait que la dérivée en un point d'une fonction, c'est la tangente à la courbe en ce point (si vous ne le saviez pas, je vous invite à revoir vos cours de maths - je vous garantis que ça y est !).

Vecteur accélération

Cette sous partie sera peut être bien la plus courte de l'histoire de Sciences Faciles. Il s'agit simplement de faire le lien entre le vecteur accélération et le vecteur position ! Or, d'après le cours sur la mécanique de Newton, on sait que :

`vec(a) = (dvecv)/(dt)`

Grâce à la nouvelle expression du vecteur vitesse :

`vec(a) = (d(v_xveci + v_yvecj))/(dt) = (d^2xveci+d^2yvecj)/(dt^2) = (d^2x)/(dt^2)veci + (d^2y)/(dt^2)vecj`

Et...voilà, c'est dit, et il n'y a pas grand chose à ajouter !

Mouvement d'un projectile dans un champ de pesanteur uniforme

Suite à ces rappels (indispensables pour partir sur de bonnes bases !), nous allons à présent attaquer le cœur de ce cours : le mouvement d'un projectile. Dans toute cette partie, on va supposer qu'on étudie un solide S, dans un champ de pesanteur uniforme (la valeur de g est identique en tous points), et que S possède une vitesse initiale `vec(v_0)`.

Vecteur accélération

Je vous propose de débuter - toujours en douceur - par la valeur du vecteur d'accélération. Dans le cadre de cette étude, on se place dans le référentiel terrestre, qui, compte tenu de la durée de l'expérience (très inférieure devant une journée), peut être considéré comme galiléen.

Bilan des forces sur l'objet : Il n'y a que la pesanteur (dûe au poids du solide) `vecP`.

Donc, d'après la deuxième loi de Newton :

`sumvecF_(ext) = mveca <=> vecP = mveca`

Or, `vecP = mvecg`. D'où :

`mvec(g) = mveca <=> vec(g) = veca`

L'accélération, dans cette étude, est donc égale à 9,81 m.s^-2.

Équations du mouvement au cours du temps

Nous allons nous pencher recta à l'évolution au cours du temps de la position et de la vitesse de notre solide. Non, vous ne rêvez pas ! Tout cela est prédictible à partir...de la masse, de l'accélération et de la vitesse initiale du solide !

Supposons qu'à t=0, le solide est lancé de l'origine du repère, O, avec une vitesse initiale `vec(v_0)`, qui fait un angle `alpha` avec l'axe des ordonnées, y. Pour partir sur des bases communes, voici le schéma de la situation :

Un petit rappel pour la suite. Regardez le schéma suivant :

Grâce aux relations dans le triangle rectangle (rappelez vous vos souvenirs du théorème de Pythagore...), on peut dire que :

`v_(0_x) = v_0cosalpha`

`v_(0_y) = v_0sinalpha`

De tout ce que je viens de dire, on peut déduire les coordonnées du vecteur position initiale, et celles du vecteur vitesse initiale :

On sait "qu'à t=0, le solide est lancé de l'origine du repère, O". Cela veut donc dire que le vecteur `vec(OS_0)` (de la position initiale du solide) vaut :

`vec(OS_0) = vec(0) = vec(OS_0){(x_0 = 0),(y_0 = 0),(z_0 = 0):}`` `

Terriblement logique : au départ, la position, c'est l'origine. Ensuite, on peut également dire :

`vec(v_0){(v_(0_x) = 0),(v_(0_y) = v_0cosalpha),(v_(0_z) = v_0sinalpha):}`

Ceci découle directement du schéma du triangle rectangle un petit peu plus haut.

A présent, nous connaissons les équations régissant la situation initiale de notre étude. C'est bien. Mais le plus intéressant, c'est que nous pouvons généraliser ces équations...pour prédire l'ensemble du mouvement !

Coordonnées du vecteur vitesse

Lorsqu'on a étudié le vecteur accélération plus haut, on en est arrivés à la conclusion que ses coordonnées étaient les suivantes :

`vec(a){(x = 0),(y = 0),(z = -g):}`

Les plus attentifs d'entre vous n'auront pas manqué de remarquer l'apparition d'un signe "-", qui n'était pas présent tout à l'heure. Effectivement ! Ici, dans le système de coordonnées que nous avons choisi (regardez les axes pour vous convaincre !), nous avons orienté le champ de pesanteur "vers le bas", soit dans le sens contraire de nos axes. Ce signe moins doit donc réapparaître dans les équations ! Sinon, vous supposez que la gravitation soulève le solide du sol au lieu de l'attirer .

Reprenons. Nous possédons les coordonnées du vecteur accélération. Et alors ? me direz vous.

Rappelez vous du lien entre vitesse et accélération...Le voici : `vec(a) = (dvecv)/(dt)`. Réfléchissons un peu : l'accélération est la dérivée de la vitesse. Ce qu'il nous faudrait, c'est un outil (mathématique) qui permette en quelque sorte "d'annuler la dérivation"; de "faire marche arrière". Les mathématiciens ont pensé à vous...et ont inventé l'intégration. Je ne vais pas faire un cours dessus ici (ce n'est pas le but), mais je peux vous engager à aller regarder le livre de maths le plus proche - vous serez fixés !

Ainsi :

`vec(v){(v_x = v_(0_x)),(v_y = v_(0_y)),(v_z = -g t + v_(0_z)):}`

Attention lorsque vous intégrez : n'oubliez pas les constantes !

D'ailleurs, cette équation n'est pas absolument parfaite. On pourrait, pour aller au fond des choses, remplacer `v_(0_x), v_(0_y)` et `v_(0_z)` par leurs formulations respectives (que l'on a énoncées lors de l'expression de la vitesse initiale !) :

`vec(v){(v_x = 0),(v_y = v_0cosalpha),(v_z = -g t + v_0sinalpha):}`

De cette expression du vecteur vitesse, on peut tirer quelques conclusions intéressantes :

1. La vitesse selon l'axe y est uniforme. Regardez ! Elle n'est composée que de constantes...Elle est donc déterminée par les conditions initiales, et n'évoluera pas au cours du mouvement.
2. La vitesse selon l'axe z est uniformément variée. Késako ? Cela veut tout simplement dire qu'elle varie de manière uniforme - toujours de la même façon. Logique puisque t est la seule variable de l'équation !

Maintenant que nous savons tout de la vitesse de notre solide bien-aimé...Étudions sa position !

Et le vecteur position ?

Si vous avez compris le raisonnement précédent, vous pouvez vous frotter les mains : c'est le même !

Effectivement, on veut cette fois ci exprimer la position. Or, nous avons déjà la vitesse...et nous savons que :

`vec(v) = (dvec(OS))/(dt)`

Et alors là, le raisonnement est le même. Comme ma clémence est grande, je vais bien entendu redétailler la démarche. Par contre, le faire vous même (sans regarder ce cours) peut être un excellent entraînement pour savoir si vous avez compris !

Par intégration sur les composantes v_x, v_y et v_z du vecteur vitesse, on obtient :

`vec(OS){(x = x_0),(y = v_0cosalpha t + y_0),(z = -1/2g t^2 +v_0sinalpha t + z_0):}`

Où x₀, y₀ et z₀ représentent la position à l'origine.

Euh, tu es sûr de ton coup  ? Parce que la primitive d'une variable telle que `alpha`, c'est pas `1/2alpha^2` ?

Si vous venez de penser ceci, vous êtes tombés dans le panneau ! Il s'agit d'une des erreurs les plus fréquentes en examen. Regardez-y de plus près : `alpha` n'est pas une variable ici, ce n'est rien d'autre qu'une constante !

Ceci dit, on peut simplifier notre équation, puisqu'on connaît les valeurs initiales de la position. Je vous les rappelle :

`vec(OS_0){(x_0 = 0),(y_0 = 0),(z_0 = 0):}`

Ne compliquons pas les équations pour rien, voici l'équation finale :

`vec(OS){(x = 0),(y = v_0cosalphat),(z = -1/2g t^2 + v_0sinalphat):}`

Inutile de vous préciser que cette équation est valable dans le cas d'un repère à 3 dimensions (O;x;y;z). S'il n'y en avait que 2 (ou au contraire 4), il faudrait simplement "adapter" nos équations !

Equation de la trajectoire

A présent que nous avons toutes ces informations en main, nous pouvons déterminer l'équation de la trajectoire de notre solide S (oui, je parle bien de l'équation-qui-fait-peur). Cette équation sera de la forme z = *équation*.

Pourquoi z ? Pourquoi pas y, ou x ?

Tout simplement car l'équation de la trajectoire (dans notre cas), c'est l'évolution de la hauteur de la position du solide au cours du temps ! Or, ici, la hauteur est représentée par l'axe z.

Si l'on reprend les équations de position, on a :

`z = -1/2g t^2 + v_0sinalphat`

Il convient à présent de chasser t. C'est la seule variable qui ne dépend pas de nos axes...elle n'a donc rien à faire ici !

Pour cela, on peut utiliser le fait que `y = v_0cosalphat` pour déduire que `t = y/(v_0cosalpha)`. En remplaçant dans l'équation de z, on trouve :

`z = -1/2g (y/(v_0cosalpha))^2 + v_0sinalpha (y/(v_0cosalpha))`

Mais cette équation, on peut la simplifier (ou plutôt devrais-je dire : on peut la rendre moins compliquée ). Allons-y tranquillement, étape par étape, et tout se passera bien !

`z = -1/2g(y/(v_0cosalpha))^2 + v_0sinalpha(y/(v_0cosalpha))`

On va commencer par développer le carré, histoire d'y voir plus clair :

`z = -1/2g(y^2/(v_0^2cos^2alpha))+ v_0sinalpha(y/(v_0cosalpha))`

A présent, on va simplifier le terme de droite. Vous allez voir qu'il y a plein de façons de jouer avec !

`z = -1/2g(y^2/(v_0^2cos^2alpha)) + (v_0sinalpha)/(v_0cosalpha)y`

Or, on peut simplifier le terme de droite par `v_0`. Par ailleurs, vous savez peut-être que `(sinalpha)/(cosalpha) = tanalpha` (et si vous ne le saviez pas, c'est à présent chose faite ).

Ainsi :

`z = -1/2g(y^2/(v_0^2cos^2alpha)) + tan(alpha).y`

Enfin, par souci d'élégance, je vais "sortir" le y² de la fraction : ainsi, on peut bien distinguer les constantes des variables. L'équation finale de la trajectoire n'est donc autre que :

`z = -g/(2v_0^2cos^2alpha)y^2 + tan(alpha).y`

Si je dessines cette trajectoire, voilà ce que j'obtiens :

Vous remarquerez que j'ai fait plusieurs ajouts sur ce schéma, et je vais vous donner quelques précisions de vocabulaire :

• La hauteur h porte le nom de "flèche". C'est le point le plus haut atteint par le projectile.
• La distance OC se nomme la "portée du tir".

Faisons travailler nos neurones : pouvez-vous calculer les coordonnées du point C ?

Je vous laisse réfléchir un peu.

Alors ? C'est trouvé ? Voici la solution :

Au point C, on a z = 0. Normal, c'est le point d'arrivée du projectile, il est donc au sol !

Mais, si z = 0, alors  `-g/(2v_0^2cos^2alpha) + tan(alpha)y = 0` ! Donc que - si je factorise par y :

`y(-g/(2v_0^2cos^2alpha)y+tan(alpha)) = 0`

Or, d'après le théorème du produit nul ("Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul"), cela signifie que :

`{(y = 0), (ou), (y = (2v_0^2sinalphacosalpha)/(g) = (v_0^2sin2alpha)/g):}`

Comme y=0 correspond au point de départ, les coordonnées du point C de chute sont donc :

`C((v_0^2sin2alpha)/g;0)`

Entraînez-vous ! SF, le jeu de rôle

Derrière ce titre, je l'admets, un peu provocateur, se cache...un nouveau moyen de vous faire trimer ! En effet, je vous propose d'utiliser les connaissances apprises lors de ce cours au travers d'un énoncé un peu atypique :

A la suite d'un bidouillage de votre grand-oncle inventeur, vous vous retrouvez propulsé au Moyen-Âge, en 1342, en plein milieu du siège de Vannes. Vous tombez alors sur un alchimiste, qui vous dit qu'il connaît le moyen de vous faire rentrer chez vous, mais...que l'on a rien sans rien. Il vous demande - chose impossible pour l'époque - de déterminer à l'avance si le trébuchet qu'ils on construit permettra d'atteindre les murs de Vannes depuis leur position, c'est-à-dire une distance de 310 mètres.

Il vous précise - à votre demande - que les boulets utilisés font 80 kilogrammes, et qu'ils sont propulsés à une vitesse initiale de 59 m/s. Histoire de corser un peu l'exercice, et de ne pas se limiter à une bête application, la hauteur initiale est z = 10 mètres, et l'angle avec l'horizontale vaut 30°.

Je vous conseille de réfléchir un temps à cet exercice; vous n'arriverez peut-être pas à le faire du premier coup, ou il vous faudra du temps. Ce n'est pas grave. On n'est pas dans une course ! Le premier arrivé n'est pas forcément le mieux récompensé ...

Cette fois, je ne vous donnerais pas de correction détaillée, simplement le résultat. Cependant, si vous êtes bloqués au milieu de l'exercice, posez votre question sur les forums ! Des gens sont là pour vous aider ...

Ah! Oui. Le résultat que vous devez trouver est..que les murs sont bel et bien atteints.

Lorsque vous serez de retour du Moyen-Âge, n'oubliez pas de passer au chapitre suivant...

Eh bien, le moins qu'on puisse dire, c'est que cette étude des projectiles était à la fois intéressante et concrète. Tout à fait, l'étude de projectiles est encore d'actualité, et les formules que nous avons démontrées dans ce cours sont utilisées chaque jour !

Lorsque vous vous sentirez prêts, rejoignez moi dans l'espace, pour jeter un coup d'oeil au planètes !