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Maintenant que nos bases en mécanique classique ont été rafraîchies, il est temps de passer à l'étude d'une pléiade de mouvements prédictibles. Commençons par le plus simple d'entre eux (en douceur ). J'ai nommé : la chute !

Chute verticale dans un fluide

Tout le long de ce cours, nous nous placerons dans le référentiel terrestre. C'est le plus commode pour notre étude (pas besoin de s'enquiquiner avec la rotation de la Terre ), et il peut être considéré comme galiléen : la durée de nos expériences n'excèdera pas quelques minutes.

Nous allons choisir comme système...une bille, que l'on lâche dans une éprouvette remplie d'eau.

L'éprouvette n'a pas de rôle précis, si ce n'est de nous assurer que la chute sera bien verticale (pas de déviation possible !).

Lorsque l'on lâche la bille un peu au-dessus de l'eau, sa vitesse initiale est nulle. La bille est alors soumise à 3 forces.

Forces exercées sur le solide

La première force qui s'exerce sur la bille, c'est la pesanteur. En effet, la Terre crée ce qu'on appelle un champ de pesanteur. Ce champ de pesanteur est en fait une infinité de forces de pesanteur qui convergent vers le centre de la Terre. Or comme on est dans le référentiel terrestre, on peut considérer que notre "bout" de Terre est plat (à petite échelle). Ainsi, tous les vecteurs de pesanteur sont parallèles entre eux, et pointent vers le sol. Dans le cadre de nos expériences, on peut également supposer que tous les vecteurs de pesanteur ont la même valeur. En réalité, la valeur de ce vecteur diminue légèrement avec l'altitude.

Ce champ de pesanteur est représenté par le vecteur `vec(g)`. Un objet (quel qu'il soit) de masse m, placé dans ce champ de pesanteur, possèdera le poids suivant :

`vec(P) = mvec(g)`

C'est l'explication du célèbre postulat "Un homme pèse 6 fois moins sur la Lune que sur Terre". Effectivement, la Lune est plus petite que la Terre, le champ de pesanteur qu'elle peut générer est donc plus faible (souvenez-vous, la force de gravitation qu'exerce un objet sur un autre dépend de deux choses : la masse de l'objet, et la distance qui le sépare de l'autre objet).

Ainsi donc, sur la Lune, le champ de pesanteur vaut environ 1,63 N/kg. Vous êtes moins "attirés" par la Lune, ce qui explique les sauts impressionants qui ont pu être observés. Mais votre masse (en kgs) ne change pas d'un dixième ! N'espérez pas de régime miracle en changeant de planète ...

Comment flottent les bateaux ?

Beaucoup d'humoristes reprennent cette phrase : "Comment se fait-il qu'une pièce d'un euro coule, alors qu'un porte-avions tout en acier flotte sur l'eau ?" Magique ? Mais non, physique !

En fait, un corps immergé (que ce soit entièrement - comme la bille - ou partiellement -comme le bateau) subit une force `vecF`, verticale, de bas en haut, qui est égale au poids du fluide déplacé. Cette force porte le nom de poussée d'Archimède, et s'exprime comme ceci :

`vecF = rhoVvecg`

où `rho` est la masse volumique du fluide, c'est à dire son poids (en kgs) pour 1 m³ de ce fluide (Pour l'eau : `rho = 1000` kg/m³). V est le volume (en m³) de la partie immergée de l'objet.

On raconte que le roi de Grèce avait commandé une couronne en or. Lorsqu'il la reçut, il ne fut pas convaincu par la bonne foi du marchand. Il demanda donc à Archimède, savant déjà réputé pour son ingéniosité, de vérifier que la couronne était bien faite d'or, et non pas d'un autre métal moins précieux qui aurait ensuite été recouvert d'or. Cependant, Archimède ne devait pas casser la couronne pour effectuer ses relevés. Autant vous dire que ça a corsé l'affaire ! Pendant plusieurs jours, Archimède chercha; sans succès. Mais alors qu'il prenait son bain, il remarqua que son poids déplacait une partie de l'eau hors de la baignoire ! On raconte alors qu'il est sorti nu de son bain en courant dans le palais, tout en hurlant "Eurêka !" ("J'ai trouvé !"). Il mesura le volume de la couronne, et mis dans l'eau un bloc d'or du même volume. Il mesura la quantité de fluide déplacé par le bloc. Lorsqu'il plongea la couronne dans l'eau, tout le monde put constater que le volume déplacé était bien moindre ! Archimède avait relevé le défi.

Alors, pourquoi ils flottent, les porte-avions ?

Eh bien, tout est une histoire de volume. En effet, si l'on compacte tout l'acier contenu dans un porte-avions sous la forme d'un cube, il coulera, car il ne déplace pas suffisamment de fluide pour contrebalancer son propre poids.

Par contre, un bateau, en forme de cuvette, déplace un volume d'eau beaucoup plus grand, mais pour une masse immergée égale à celle du cube ! Cette fois ci, suffisamment de fluide est déplacé, et la poussée d'Archimède permet de contrebalancer le poids du bateau.

Sur la vignette de gauche, le cube coule car il ne déplace pas un volume d'eau assez grand. Sous la forme d'un bateau, la même quantité d'acier déplace un volume d'eau plus grand, et le bateau flotte !

Revenons à notre bilan...Il existe une troisième force que nous devons prendre en compte : la force de frottement du fluide sur le solide, `vecf`. Cette force est colinéaire (parallèle) au vecteur vitesse, mais de sens opposé; elle s'oppose donc à la chute de la bille. D'où le signe "-". Elle est proportionnelle à la vitesse du solide (ici, la bille), ainsi :

`vec(f) = -kvecv`

Soyons clairs : k n'a pas de valeur précise, il dépend des conditions du système !

Voici un bilan visuel des forces exercées sur cette bille :

A quoi ressemble le mouvement ?

Vous vous rappelez, lorsque j'avais parlé de l'importance de faire un bilan des forces ? Cela sert à ne pas oublier la force de frottement ! Quoiqu'il en soit, maintenant que nous savons précisément ce qui agit sur notre bille, nous allons étudier ce mouvement mathématiquement.

Ben...Elle tombe non ? Ca se voit bien !

Effectivement, sa position n'est pas très difficile à prédire. Par contre, sa vitesse ? C'est déjà plus ardu. Posons le problème rigoureusement :

Nous allons étudier le système {bille}, de masse m et possédant une vitesse initiale v₀ nulle (précisez-le, même si v₀ est nulle ! Ca montre que vous savez ce que vous faites). La bille et soumise aux trois forces évoquées plus haut.

Dans le cadre de cette étude, on se place dans le référentiel terrestre, supposé galiléen.

D'après la seconde loi de Newton, on sait que `sumvec(F_(ext)) = mveca`. Ainsi :

`vecP + vecF+ vec(f) = mveca`

En utlisant l'axe x orienté vers le bas que j'ai mis plus haut, on écrit plutôt :

`vecP - vecF - vec(f) = mveca`

Ce choix d'axe est arbitraire. On aurait pu orienter l'axe x de bas en haut, et obtenir un résultat valable ! Ceci dit, soyons logiques : la bille descend vers le bas, autant choisir un système dans lequel nos positions seront positives !

A présent, remplaçons par les expressions des formules que l'on connaît; il n'y a qu'un seul axe, l'axe x, ainsi v est égale à sa composante v_x etc. :

• `vecP = mvecg` 
• `vec(F)= rhoVvecg`
•  `vec(f) = kv_x`
• `veca = vec(a_x)`

Donc, notre équation différentielle (car c'est bien de cela qu'il s'agit !) devient :

`mvec(g) - rhoVvec(g) - kv_x = mvec(a_x)`

Or du chapitre précédent, nous savons que `vec(a) = (dv_x)/(dt)`. D'où l'équation différentielle finale :

`-(k/m)v_x + ((m-rhoV)vec(g))/(m) = (dv_x)/(dt)`

Notez bien que j'ai divisé tous les membres par la masse, m, afin d'obtenir l'équation différentielle de vx en fonction de sa dérivée ! Plus précisément, on a `(dv_x)/(dt) = av_x + b`, avec a et b des constantes.

Lors d'une chute, la vitesse augmente, mais, au fur et à mesure que la bille subit des frottements, ou une poussée d'Archimède, son accélération devient de plus en plus minime. Jusqu'au point où l'accélération est nulle; la vitesse devient constante. Cela correspond au moment ou les forces agissant sur la bille s'équilibrent. Calculons cette vitesse limite à l'aide de l'équation différentielle, voulez-vous ?

Lorsque la vitesse maximale est atteinte, nous l'avons dit, `v_x` est constante. Sa dérivée est donc nulle. En remplaçant dans l'équation différentielle, on obtient :

`-k/mv_(lim) + ((m-rhoV)vecg)/m = 0`

Soit :

`-k/mv_(lim) = ((m-rhoV)vecg)/m <=> v_(lim) = ((m-rhoV)vecg)/k`

Avec cette équation, nous voilà capables de calculer la vitesse limite atteinte par n'importe quel solide lâché dans n'importe quel fluide, à condition de connaître les caractéristiques du fluide, et du solide.

Pour conclure, un petit graphique résumant les différentes "formes" de ce mouvement :

Raisonnons différemment : la méthode d'Euler

Les équations que nous avons posées plus haut sont tout à fait valables, et je vous conseille de retenir la façon de les retrouver à partir du bilan des forces .

La méthode d'Euler est une méthode numérique qui fonctionne par petits intervalles de temps. Elle est très adaptée pour un tableur (bien plus que l'équation différentielle !), mais très fastidieuse "à la main".

Nous avons vu que l'équation différentielle correspondait à une fonction affine (de forme ax + b). On a donc `(dv_x)/(dt) = av_x + b`, avec `a = -k/m` et `b = ((m-rhoV)g)/m`. Si l'on choisit un intervalle de temps `deltat`, alors `(deltav_x)/(deltat) = av_x + b => deltav_x = (av_x + b)deltat`. Si vous avez suivi jusque là (et je n'en doutes pas ),  alors chapeau ! Vous avez fait le plus dur.

Ensuite, on se place à différents instants de temps :

• A t₀ = 0, `v_x = v_(x_0)` (Il s'agit des conditions initiales du système).
• A t₁ = t₀ + δt = δt, v₁= v₀ + δv₀ `=>` v₁ = v₀ + (av₀ + b)δt
• A t₂ = t₁ + δt, v₂ = v₁ + δv₁ `=>` v₂ = v₁ + (av₁ + b)δt
• ...

Comme ça, vous pouvez continuer à l'infini. C'est très long (pour calculer v_n, il vous faut connaître toutes les vitesses de 0 à n-1), mais idéal pour un tableur, auquel on peut demander de calculer à partir de la valeur précédente.

Un cas particulier : la chute libre

Lorsqu'un solide n'est soumis qu'à son poids, on dit qu'il est en chute libre. En théorie, cela veut donc dire que la chute libre n'est appliquée que dans le vide. Car même dans l'air, il y a des frottements, et même une (faible) poussée d'Archimède !

Cependant, on peut considérer qu'un système est en chute libre si son poids est très grand en face des frottements et de la poussée d'Archimède. Notre bille d'acier (encore elle !) peut donc être considérée comme en chute libre dans l'air. Voici alors son bilan des forces :

Modélisons le mouvement (c'est plus simple !)

Vous n'allez pas me croire...Mais c'est encore plus simple que tout à l'heure. Vous allez voir. En attendant, faisons les choses rigoureusement.

Nous allons étudier le système {bille}, de masse m et de vitesse initiale v₀ nulle. Comme le fluide considéré est l'air, on peut dire que la bille est en chute libre. En effet, les forces de frottement, ainsi que la poussée d'Archimède sont négligeables devant le poids de la bille. Ainsi, le bilan des forces extérieures s'exerçant sur la bille est le suivant :

• Son poids, `vecP=mvecg`

Pour cette étude, on se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

D'après la seconde loi de Newton, on sait que : `sumvecF_(ext) = mveca`. Or, ici, cela veut dire que :

`vecP = mveca <=> mvec(g) = mveca <=> vec(g) = veca`.

Cela veut donc dire que le vecteur accélération d'un système en chute libre est égal au vecteur du champ de pesanteur `vecg`.

Or, d'après les lois de Newton,et en projetant sur l'axe x, `a = (dv_x)/(dt)`, donc `(dv_x)/(dt) = g`.

Attention : On travaille avec les valeurs numériques ici, plus avec les vecteurs ! Ca explique la disparition de la flèche .

Ainsi donc, l'équation différentielle du mouvement est `(dv_x)/(dt) = g`. On a rarement fait plus simple .

Résolution !

Inutile de me dire que vous travaillerez, ou que vous allez perdre du poids...Il ne s'agit pas de ces résolutions . Par contre, l'équation différentielle, on va la torturer un peu. Il faut qu'elle parle !

Nous allons déterminer deux choses : l'expression de la vitesse au cours du temps, et l'expression de la position au cours du temps. Ainsi, nous pourrons nous vanter de connaître la chute libre sous tous ses aspects !

Vitesse

Nous connaissons d'ores et déjà une équation différentielle impliquant la vitesse. Il s'agit de `(dv_x)/(dt) = g`. On peut la résoudre facilement; cela équivaut à dire que : v_x = gt + c, où c est une constante.  Or à t=0, `v_x = v_(x_0)` (la vitesse initiale). On peut en déduire que `c= v_(x_0)` . L'équation véritable est donc :

`v_x = g.t + v_(x_0)`

Il s'agit de l'équation d'une fonction affine, sa représentation graphique est la suivante :

Comme vous pouvez le constater, une accélération constante de g, c'est considérable. La vitesse augmente grosso modo de 100 mètres/seconde toutes les 10 secondes !

Position

Pour calculer l'expression de la position, il va falloir nous poser la question suivante :

Qu'est-ce que la vitesse ?

La vitesse, et je suis sûr que vous serez d'accord avec moi, c'est une variation de position au cours du temps. Ainsi, `v_x = lim_(Deltat->0)(Deltax)/(Deltat)`. C'est une forme que nous connaissons bien; c'est un taux de variation (ou nombre dérivé). Ainsi :

`v_x = (dx)/(dt)`.

Si l'on met ceci en relation avec l'équation différentielle trouvée pour la vitesse, on arrive à cet élégant calcul :

`(dx)/(dt) = g.t + v_(x_0)`

On intègre :

`int(dx)/(dt) = intg.t+v_(x_0)dt <=> x = (1/2)g.t^2 + v_(x_0)t + c'`

Quant à c', par le même raisonnement que pour c, on arrive à la conclusion qu'il s'agit de la position initiale. Encore une fois, le résultat sous la forme de la position au cours du temps :

On a affaire à un arc de parabole; il faudra de moins en moins de temps au solide pour parcourir une distance donnée. La valeur initiale en ordonnées correspond à la position initiale du système.

Notez bien : Si le système est lâché avec une vitesse initiale nulle, et à une position x₀ = 0, alors l'équation devient naturellement `x = (1/2)g.t^2`.

Bonus track : Mesurer un bâtiment à l'aide d'un objet un peu lourd

Le titre est un peu trompeur; on pourrait s'attendre à ce que je vous présente quelque chose, mais en fait...C'est vous qui allez réfléchir  !

Vous êtes en haut d'un bâtiment, dont vous de connaissez pas la taille. Vous possédez une montre-chronomètre, et une balle lourde. Comment faites-vous ?

Solution (à ne pas regarder trop vite) : Lâchez la balle du haut du bâtiment, et chronométrez son temps de chute. Vous savez que g= 9,8 m.s^-2, et que la balle est suffisamment lourde pour être considérée comme en chute libre. Vous pouvez donc calculer la position finale de la balle, et donc la hauteur du bâtiment. Faites attention à n'assommer personne avec votre balle ...

Comme vous pouvez le constater, la mécanique, sous des abords très mathématiques, peut rapidement se simplifier et devenir un sujet d'étude du monde qui nous entoure. Il suffit d'être consciencieux ! Je vous propose de continuer nos études avec l'étude du mouvement d'un projectile.