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Bienvenue en Mécanique Newtonienne ! Bien que cette partie soit extrêmement dense (6 chapitres), nous allons commencer tout doucement par des rappels et des définitions. Profitez-en pour souffler un peu, vous détendre...Et connaître ce cours sur le bout des doigts !

Système et référentiel : deux notions incontournables

Système

Qu'est-ce qu'un système ? Simplissime, il s'agit simplement d'un objet d'étude en Physique. Ainsi, un système, c'est l'ensemble des éléments qui le composent. Eh oui, vous n'avez pas forcément un seul objet dans votre système !

Définir un système, c'est donc - tout bêtement - faire la liste des objets qui le compose. Cette liste doit être écrite entre accolades, chaque objet séparé par le symbole +. De cette façon : {Objet1 + Objet 2 + Objet 3 + ... + Objet n}.

Entraînons-nous ! Pouvez-vous définir les systèmes correspondants aux énoncés suivants ?

Enoncé n°1 : On s'intéresse au lancer d'une boule de bowling sur la distance d'une piste, soit 18,21 mètres.

Enoncé n°2 : On se propose d'étudier les performances d'un cycliste en course.

Alors, facile, non ? Voici les réponses :

Réponse n°1 : Ici, la seule chose qui importe, c'est la boule. Le système sera donc défini comme suit : {boule}

Réponse n°2 : Au contraire, ici, le système est composé de deux objets : {cycliste+vélo}. En effet, le {cycliste} a un effet sur le {vélo} durant toute l'étude, pas seulement au début (comme c'était le cas avec la boule de bowling).

Gardez bien ces deux exemples en tête, on va les réutiliser tout au long du cours .

Bilan des forces

Autre question qui revient souvent en examen..."Dressez le bilan des forces de ce système".

En quoi ce genre de question est-il utile ?

D'un point de vue "Physique", c'est très utile. Cela vous permet de mieux cerner votre système, et de faire l'inventaire des forces qui s'exercent dessus. Ca évite de passer 4 heures à faire l'étude du cycliste, ou d'un avion en vol, pour finalement se rendre compte qu'on a oublié de prendre en compte les frottements de l'air... D'un point de vue "scolaire", vous pouvez vous dire que ce sont des points gagnés facilement, ne crachons pas dans la soupe !

 Lorsque vous dressez le bilan des forces d'un système, il faut systématiquement (oui oui, j'insiste !) distinguer 2 types de forces :

• Les forces extérieures : On désigne ici toutes les forces extérieures au système qui agissent sur le système. Typiquement : la force gravitationnelle, exercée par la Terre sur la boule de bowling.
• Les forces intérieures : Ici, vous placerez toutes les forces exercées par une partie du système sur une autre partie du même système. En général, on les néglige.

En fait, je vous ai menti. La question qui revient souvent en examen n'est pas "Dressez le bilan des forces du système" mais plutôt "Dressez le bilan des forces extérieures du système". Voilà qui simplifie grandement les choses, n'est-ce pas ?

Les mouvements, une perception relative

Référentiel

J'en ai parlé dans le titre de cette partie, je vais maintenant les introduire : les référentiels. Comme leur nom l'indique, ce sont des systèmes auxquels on "fait référence" pour décrire un mouvement. Lorsqu'on réalise une expérience en mécanique classique (celle que vous connaissez), on choisit toujours un référentiel galiléen. Un référentiel est dit "galiléen" si un objet isolé (aucune force ne s'applique dessus, ou la résultante des forces est nulle) dans ce référentiel est immobile ou subit un mouvement rectiligne uniforme. Il y en a 4 principaux à connaître :

1. Référentiel terrestre

C'est le référentiel le plus utilisé. Il est centré en un point de la Terre (selon les cas : votre salle de cours, votre laboratoire, ...). Dans ce référentiel, un homme "immobile" est considéré comme fixe. Ce référentiel convient pour des expériences très courtes (quelques dizaines de minutes), petites devant la période de rotation de la Terre.

2. Référentiel géocentrique

Ce référentiel est centré avec le centre de la Terre. Pour définir ses axes, on se base sur des étoiles lointaines, qui paraissent ainsi immobiles. Ce référentiel s'affranchit des effets de la rotation terrestre autour des pôles, mais...pas de celle de la Terre autour du Soleil ! Ce référentiel est donc galiléen pour des expériences un peu plus longues, mais plus courtes qu'une journée.

3. Référentiel héliocentrique

Ce référentiel, comme son nom l'indique, est centré sur le Soleil. Il est galiléen pour des expériences beaucoup plus longues, où l'on ne peut plus négliger la rotation de la Terre autour du Soleil ! Expérimentalement, ce référentiel est "le plus galiléen".

Pourquoi doit-on choisir un référentiel ?

Cela donne un point de repère. Sans référentiel commun, plus aucun mouvement n'est vérifiable ! Prenons un exemple : vous êtes dans le train, et vous voyagez à 150 km/h. Dans le référentiel "train" (si l'on se place par rapport au mouvement du train), vous ne bougez pas, vous êtes immobile. Normal, vous êtes confortablement assis dans votre siège !

Prenons maintenant le point de vue d'Azalée, vache de son état. Elle vient de voir passer le train, avec vous dedans. Dans son référentiel (le terrestre), vous vous déplacez à 150 km/h !

Vous comprenenez la nuance ?

Ah bah, on n'a qu'à choisir le dernier, comme ça, on sera toujours sûrs d'avoir le temps ! Quoi, j'ai dit une bêtise...?

Un peu . Imaginons : vous souhaitez étudier la chute d'une bille dans un tube vertical d'eau. Dans le référentiel terrestre, c'est simple : la bille tombe verticalement. Dans le référentiel de Copernic, il faudra prendre en compte dans la trajectoire de la Terre autour du Soleil, et la rotation de la Terre sur elle-même !

Repérons-nous dans le temps et l'espace

Puisqu'on va étudier des grandeurs telles que la vitesse, la position, ... il est important de se mettre d'accord sur l'origine des temps (t = 0), ainsi que sur l'unité de temps : milliseconde ? seconde ? an ? L'intérêt ? On pourra alors repérer un instant précis grâce à sa date.

Un repère approprié permet également de connaître la position d'un système dans un référentiel. Chacun des référentiels que je vous ais cités plus haut possède un repère et une origine propre à lui !

Voici deux exemples bien connus de repères possibles :

Bien entendu, cela ne se limite qu'à votre imagination ! Restez tout de même pertinent par rapport à l'énoncé...

Notez d'ailleurs que l'ensemble des positions successives d'un système dans un référentiel porte le doux nom de trajectoire.

La vitesse, moyenne ou instantanée ?

Vient le temps de reparler de choses que vous avez déjà vues : la notion de vitesse moyenne. Un exemple ?

"Albert roule 100 kms. Il met 52 minutes pour effectuer ce trajet."

Quelle est la vitesse moyenne de son trajet ? Simple ! C'est le vecteur distance (dont la norme vaut ici 100 000 mètres, attention aux unités !) divisé par le temps nécessaire pour effectuer le trajet, soit 52 x 60 =  3120 secondes. Soit une vitesse moyenne de : `(100 000) / 3120 = 32,05 m.s^(-1)`. Reconverti en kms/h, cela donne environ 115 kms/h. On a là une vitesse moyenne sur tout le parcours, Albert n'a pas roulé à 115 kms/h pile pendant tout son voyage .

La vitesse instantanée...C'est la même chose !

Pardon ?!

En fait, on va considérer que la vitesse instantanée, c'est la vitesse moyenne...sur une très petite distance. Ainsi, si l'on prend deux points M₁ et M₂, qui correspondent à deux positions de notre système aux instants t₁ et t₂, alors :

`vec(v_i) = lim_((t_2-t_1)->0)vec(M_1M_2)/(t_2-t_1)`

Eclaircissons un peu :

• `vec(M_1M_2)`: Il s'agit du vecteur distance entre les points M₁ et M₂. N'allez pas vous faire piéger, et calculer le produit M₁xM₂ !
• `lim_((t_2-t_1)->0)`  : Cette limite permet simplement de raccourcir au maximum la distance entre les deux points. Elle représente la "très petite distance" dont je parlais plus haut.

Au fil du cours et des exercices, vous serez peut-être amenés à voir la notation de `Deltat` au lieu de t₂-t₁. C'est la même chose, alors ne soyez pas perdus ...

Centre d'inertie

Pour finir notre tour d'horizon, une notion très simple, celle du centre d'inertie. Il s'agit du point du système qui possède un mouvement plus simple que les autres.

Comment le trouver ?

Il s'agit du centre de gravité du système. Pour toutes les formes "simples" (carré, rectangle, disque,...), rien de plus aisé, il s'agit du centre de symétrie !

Mais sinon, comment pourrait-on calculer l'emplacement de ce centre de gravité ?

En allant bien plus loin que le niveau de mathématiques de Terminale, c'est possible ! Cela relève du programme de classe préparatoire. Pour ceux que ça intéresserait, il s'agit d'intégrales doubles (vous pouvez consulter un cours sur le sujet ici). Ainsi, pour un solide homogène S, le centre de gravité G(X,Y) se calcule comme suit :

`X = (intint_Sxdxdy)/(intint_Sdxdy)`, `Y = (intint_Sydxdy)/(intint_Sdxdy)`.

Mais, je le répètes, nous sommes bien au delà du programme de Terminale !

Les trois lois de Sir Isaac

La première loi de Newton : Le Principe d'intertie

La première loi s'énonce comme suit : Si la somme des forces extérieures à un système est nulle, alors ce système :

• Est immobile
• Possède un mouvement rectiligne uniforme

D'ailleurs, c'est réciproque. Un système immobile ou possédant un mouvement rectiligne uniforme verra la somme de ses forces extérieures égale à 0.

Lorsqu'on parle de mouvement rectiligne uniforme, on veut souligner le fait que le vecteur vitesse du centre d'inertie (`vec(v_G)`) est constant.

Attention ! Constant, pour un vecteur, signifie :

• Même sens
• Même direction
• Même valeur/norme

Ainsi, sur le schéma suivant, le vecteur vitesse n'est pas constant :

En résumé :

`sumvec(F_(ext)) = vec(0) <=> vec(v_G) constant`

La deuxième loi de Newton

Quelques faits intéressants

Pour arriver en douceur à la formulation de la deuxième loi de Newton, on va étudier un peu les variations du vecteur vitesse du centre d'inertie du système lorsque `sumvec(F_(ext))` évolue. `vec(Deltav_G)`(la variation du vecteur vitesse) est proportionnelle à :

• La durée de l'action des forces extérieures dans le temps,
• A la norme `|| sumvec(F_(ext))||` du vecteur de la somme des forces extérieures,
• A l'inverse de la masse totale du système : cela signifie que plus le système est lourd, plus il sera difficile de faire changer sa vitesse...C'est en accord avec la première loi de Newton !

Petit rappel : être proportionnel, cela veut dire que si je trace le graphe de la variation de vitesse en fonction d'une de ces trois caractéristiques, le graphe obtenu sera une droite.

De toutes ces relations de proportionnalité, on peut tirer :

`vec(Deltav_G) = (sumvec(F_(ext)).Deltat)/m <=> sumvec(F_(ext)) = mvec(Deltav_G)/(Deltat)`

où m est la masse du système, `Deltat` le temps d'action...Je nous vous apprends rien .

Vecteur accélération

Pour définir le vecteur accélération, on va se pencher sur ce qu'il représente physiquement...Et ça coulera de source ! Alors, qu'est-ce qu'une accélération ?

Un changement de vitesse au cours du temps ?

Exactement ! En langage mathématique, on pourrait donc dire que :

`vec(a_G) = (vec(Deltav_G))/(Deltat)`

Il manque un petit détail...Le même que pour la vitesse instantanée . On veut pouvoir le connaître "instantanément"...C'est-à-dire pour des temps très courts ! Donc :

`vec(a_G) = lim_(Deltat->0) (vec(Deltav_G))/(Deltat)`

Ca ne vous rappelle rien ? Laissez-moi vous le mettre sous une forme plus familière :

`vec(a_G) = lim_(Deltat->0)(vec(v_2)-vec(v_1))/(t_2-t_1)`.

C'est mieux ? Pas vraiment ? Je vais vous éclairer . Il s'agit ni plus ni moins que de la définition mathématique du nombre dérivé (ou du taux de variation) ! Comme la fonction définissant l'accélération est définie partout où la fonction définissant la vitesse l'est, on peut généraliser et dire :

`vec(a_G) = (dvec(v_G))/(dt)`

Enfin, la deuxième loi de Newton !

A partir de la relation précédente, c'est du tout cuit . Souvenez-vous, on avait trouvé une formule pour la variation de vitesse...

*Va chercher dans des tiroirs poussiéreux*

Ah, la voilà !

`sumvec(F_(ext)) = m(vec(Deltav_G))/(Deltat)`

Et ça, ça équivaut à dire :

`sumvec(F_(ext)) = mvec(a_G)`

On retrouve ainsi la deuxième loi de Newton : "La somme résultante des forces extérieures appliquées à un système est égale à la masse fois l'accélération".

Petit bonus : Connaître la tendance d'un mouvement en un coup d'oeil.

Ca vous dirait ? Parce qu'en plus, c'est bête à manger du foin. Regardez les schémas suivants, et tout s'expliquera !

Attention, lorsque je dis "s'ajoute", "freine", ça n'a rien de physique, c'est uniquement pour retenir !

Le projeté du vecteur accélération "s'ajoute" au vecteur vitesse : le mouvement gagne en vitesse, il est accéléré.

Le projeté du vecteur accélération "freine" le vecteur vitesse; il est dans le sens opposé. Il s'agit d'un mouvement décéléré.

Ici, le projeté est invisible...Et pour cause, il est nul ! Le mouvement est uniforme (mais pas nécessairement rectiligne comme sur le schéma, il pourrait décrire un cercle parfait par exemple).

Le principe des actions réciproques : la troisième (et dernière !) loi de Newton

Nous voici arrivés à la dernière loi de ce cours...Car heureusement, Newton n'a pas eu l'idée de faire 30 lois ! La troisème est (selon moi) la plus simple de toutes. Prenons le cas de deux corps : le sol (S)...et vous (V). La troisième loi de Newton stipule que si Vous exercez une force `vec(F_(V//S))` sur le sol (en marchant par exemple), alors le sol exerce une force `vec(F_(S//V))` sur vous, de même valeur, même direction, mais de sens opposé ! Ce qui vous empêche de vous enfoncer dans le sol ...

Les lois de Newton en application : la ceinture de sécurité

Pour finir ce cours plutôt théorique, je vous propose une application de la vie quotidienne : la ceinture de sécurité.

Quoi ? Tu veux dire que c'est grâce à Newton et ses lois qu'on sait faire une ceinture de sécurité ?

Ne sous-estimez pas Newton, il est partout dans votre vie ! En l'occurrence, la ceinture fait appel à la première loi : le principe d'inertie. En fait, tout repose sur un enrouleur, autour duquel votre ceinture est...enroulée, oui oui. On peut le schématiser comme ceci :

Lors d'un freinage brusque, vous êtes projetés vers l'avant. Le petit cran C est tiré par votre poids, se bloque contre le taquet, et stoppe l'enrouleur...ce qui bloque la ceinture ! C'est aussi simple que cela. D'ailleurs, ce cran est également sensible à la force centrifuge, ce qui explique que la ceinture se bloque dans les virages...

Bien sûr, depuis, les ceintures ont un peu évolué. De nos jours, on utilise des ceintures avec pré-tensionneur. Il s'agit simplement d'un petit dispositif pyrotechnique (du même acabit que celui que vous trouverez dans les airbag), ce qui permet de tirer le cran de quelques centimètres...Vous empêchant d'accumuler trop d'inertie, et limitant ainsi la violence du choc !

Ce cours n'était pas compliqué, et ça m'a permis d'aller un peu plus loin avec vous. C'est bien ! Maintenant que nous avons recouvré de solides bases en mécanique, il est temps de passer à l'étude de systèmes particuliers : les chutes libres !