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Bientôt la fin ! Pour conclure cette partie riche en mathématiques, nous allons passer à des circuits un peu plus complexes...Mais, forcément plus intéressants. Vous l'aurez deviné dès le titre : nous allons combiner L et C. Ce chapitre, sous des aspects plus difficiles, sera en fait...Bien plus simple !

Vous allez pouvoir en profitez pour appliquer ce que vous avez appris lors des deux derniers chapitres, et je vais beaucoup moins vous tenir la main; vous serez quasi autonomes. Réjouissante perspective, n'est-ce-pas ?

Observons et commentons

Alors, commencons gaiement...avec un montage ! Le voici :

Lorsque l'interrupteur est en position 1, on charge le condensateur. Lorsqu'il est en position 2, il n'y a plus de générateur. L'énergie accumulée dans le condensateur se décharge donc dans la bobine.

Enfin, on visualise la tension aux bornes du condensateur sur un oscilloscope (ou un ordinateur !), ce que l'on peut remarquer avec la présence de la masse (le "râteau") et le branchement sur la voie 1.

Voici d'ailleurs ce que ça peut donner :

Et la résistance, quel est son rôle ?

Le rôle de R dans tout ça

La résistance (que nous avons carrément négligée lors de l'étude des dipôles RC et RL) va caractériser le régime des oscillations.

Régime ?

Régime, ou "catégorie". Effectivement, on se rend compte expérimentalement que si les oscillations sont différentes selon la valeur de R, on peut tout de même les "ranger" dans 4 "grandes" catégories :

1. Régime périodique

C'est le cas où la résistance R est extrêmement faible, quasi nulle. Les oscillations sont périodiques (le "motif" se répète à des intervalles de temps réguliers), leur période dépend des constantes du circuit (Inductance L, capacité C,...). En images :

Point mathématiques : Comment vérifier qu'une fonction mathématique est périodique ?

C'est extrêmement simple. On va supposer une période k (`2pi`dans le cas des fonctions sinus et cosinus par exemple). Si la fonction est périodique, alors f(x + k) = f(x). Si c'est vérifié, la fonction est périodique .

2. Régime pseudopériodique

Ce type de régime est le plus courant. Le régime est presque périodique...Mais la résistance est un peu plus élevée, on ne peut pas la négliger : elle amortit les oscillations. Encore un fois, en images :

3. Apériodique critique

Pour tout circuit RLC, il existe une valeur de résistance dite "critique", qui vaut très exactement : `R_C = 2sqrt(L/C)`. Cette valeur est un cas limite entre les régimes pseudopériodiques et apériodiques. Il advient lorsque R=R_C.

4. Apériodique (tout court )

Enfin, notre dernier cas, lorsque R est très élevé (supérieur à R_C): le régime apériodique. Il n'y a plus rien de la fonction périodique que nous pouvions admirer plus haut !

Quoiqu'il arrive, soyez à chaque fois capable de pouvoir "ranger" votre circuit. Est-il :

• Périodique ? (très rare)
• Pseudopériodique ?
• Apériodique critique ? (très rare aussi)
• Apériodique ?

S'il est très difficile d'obtenir un régime périodique naturellement, on peut faire appel  un dispositif d'entretien des oscillations, qui va fournir de l'énergie au système pour maintenir des oscillations périodiques.

Maintenant que vous êtes bien détendus et dans le sujet, on va pouvoir passer aux choses plus corsées; le retour des équations différentielles !

Oscillations dans un circuit RLC d'amortissement négligeable

Evolution de la tension

Que se passe-t-il aux bornes du condensateur pendant sa décharge dans la bobine ? Comment la tension évolue-t-elle ?

C'est à ces deux questions que je vous propose de répondre. BIne sûr, vous pourriez être tentés de me répondre "la tension évolue différemment selon la valeur de R : périodiquement, pseudopériodiquement, ou apériodiquement". C'est vrai, cent fois vrai...Mais quelle est la fonction mathématique qui décrit u_C ? C'est là qu'il faut intervenir !

Toutes les formules que je vais utiliser sont dans les cours précédents ! En cas de doute, n'hésitez pas à aller les relire :

• Cours sur le circuit Résistance - Condensateur
  
• Cours sur le circuit Résistance - Bobine

Par où doit-on commencer ? L'interrupteur est en position 2, il n'y a pas de générateur. L'habituelle loi des mailles (ou loi d'additivité des tensions) nous permet de dire que :

`u_C + u_L = 0`

Or, rappelez vous, `u_L = L(di)/(dt)`; donc :

`u_C + L(di)/(dt) = 0`

On sait également que `i = (dq)/(dt)`, mais aussi que q = Cu_C, donc que `i = C(du_C)/(dt)`. On remplace :

`u_C + L(d(C(du_C))/(dt))/(dt) = 0`

`u_C + LC (d^2u_C)/(dt^2) = 0`

`1/(LC)u_C + (d^2u_C)/(dt^2) = 0` (j'ai "éliminé" le LC devant la dérivée seconde)

Attention ! La notation que j'ai utilisée n'est pas forcément universelle, même si c'est la plus courante en Physique. Au lieu de `(d^2u_C)/(dt^2)`, vous pourrez être amenés à rencontrer ` `ü, ou, très rarement, u'' (comme en Maths).

Une fois de plus, vous n'êtes pas tenus de savoir trouver la solution à ce genre d'équation (et heureusement !)...Mais vous devez pouvoir vérifier qu'une fonction est (ou n'est pas) solution.

Par exemple, si je vous dis que `u_C = U_mcos(1/(sqrt(LC))t+phi)` est solution (je reviendrais plus tard sur U_m et `phi`)...Vrai ou pas vrai ? Allez, on est partis, calculons les dérivées premières et secondes du u_C. Pour rappel, si u est une fonction, la dérivée de cos(u) vaudra -u'sin(u).

`(du_C)/(dt) = -1/sqrt(LC)U_msin(1/sqrt(LC)t + phi)`

et

`(d^2u_C)/(dt^2) = -(1/sqrt(LC))^2U_mcos(1/sqrt(LC)t + phi)`

Si on replace ce qu'on a trouvé dans l'équation initiale, on arrive vite à :

`1/(LC)U_mcos(1/sqrt(LC)t + phi) + (-1/(LC)U_mcos(1/sqrt(LC)t + phi)) = 0`

Alléluïa ! On y est arrivés ! La fonction que je vous ai proposée est donc bien solution .

Réponse en intensité

C'est au tour de l'intensité...Mais on a déjà commencé le travail. Si si ! On est arrivé à la relation `i(t) = C(du_C)/(dt)`. Donc i :

`i(t) = -C1/sqrt(LC)U_msin(1/sqrt(LC)t+phi)`

De cette équation, on peut facilement déduire la valeur maximale I_m de i(t) :

`I_m = -C1/sqrt(LC)U_m`

Ainsi, l'intensité dans le circuit (à tout instant t) suit la loi `i(t) = I_msin(1/sqrt(LC)t + phi)`. Après tout, ces équations ne sont pas si terribles ...

Le temps est maintenant venu de se reposer...et de parler des quelques constantes de ces équations un peu nébuleuses. Ne vous inquietez pas, un schéma-résumé s'approche à grands pas !

• U_m : Il s'agit de l'amplitude de l'oscillation. On l'appelle aussi tension maximale. Elle s'exprime en Volts, et dépend directement de la valeur de la force électromotrice injectée dans le circuit.
• `phi`(prononcez "phi") : Il s'agit de la phase à l'origine. Cela fait plus appel à des notions concernant les ondes. C'est tout simplement la valeur (en ordonnées) de l'onde à un temps donné (ici t = 0). On l'utilise souvent en télécommunications pour représenter un "retard" d'une onde par rapport à une autre. Le spécialistes en mangeront à n'en plus pouvoir...Ah, et cette phase n'a pas d'unité (ce n'est qu'un nombre !).
  
• `omega_0 = 1/sqrt(LC)` : Plus délicat, il s'agit de la pulsation propre du circuit. En Physique, une pulsation représente en fait une vitesse de rotation. Où est la rotation ici me direz-vous ? Elle trouve ses fondements dans le mouvement périodique, qui revient en fait à "faire un tour complet", et revenir au point de départ. Comme un tour complet est représenté par `2pi`radians, la pulsation vaut `omega_0 = 2pif_0`. f₀, c'est la fréquence propre, c'est à dire la fréquence à laquelle le système oscille naturellement en évolution libre (sans frottements ni excitations).

Voici, comme promis, un petit schéma qui place ces valeurs sur du concret : un graphe .

Passons à la suite, voulez-vous ?

Période propre

Un peu plus haut, je vous ai parlé de période propre et de pulsation propre. La période propre, c'est la période (le temps requis pour que le motif se "répète") du système lorsqu'il est en évolution libre (pas d'excitation ni de frottement). Pour les fonctions uC(t) et i(t), la période propre est la même :

`T_0 = (2pi)/omega_0 = 2pisqrt(LC)`

Lorsque les oscillations sont pseudopériodiques, la période observée est proche de la période propre. Retenez-le !

Pour se dérouiller les neurones, rien de mieux qu'un petit exercice ! On souhaite obtenir un circuit permettant d'obtenir une tension sinusoïdale de f=100Hz. Vous avez à disposition une bobine d'inductance L=100 mH, et un conducteur ohmique de résistance R=10 Ω. Vous avez également une pléiade de condensateurs, aux capacités très diverses. Lequel choisir ?

Ce calcul est simple, et c'est pourquoi je ne vous donnerai pas la marche à suivre, mais seulement de résultat : C = 25,3 µF. Bon courage, et si vous avez un problème, passez par les forums !

Evolution de l'énergie dans le circuit

Maintenant que nous savons ce qu'il se passe mathématiquement, il est également intéressant de savoir ce qu'il se passe énergétiquement. Rassurez-vous, le plus dur est derrière vous !

Lorsqu'on a les outils/logiciels adaptés, on peut tracer les courbes correspondant aux niveaux d'énergies emmagasinées dans la bobine et le condensateur. Je ne vous apprend rien de nouveau lorsque je dis que :

• A tout instant, l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur vaut : `E_C = 1/2Cu_C^2`.
• ...et que l'énergie magnétique emmagasinée dans la bobine vaut : `E_L = 1/2Li^2` 

La loi de conservation de l'énergie dans le circuit ("Rien ne se perd, rien ne se crée. Tout se transforme" - Lavoisier) nous permet de dire que l'énergie totale E dans le circuit vaut E_C+E_L. J'ai d'ailleurs tracé ces trois énergies, dans le cas d'un régime pseudopériodique. Admirez le résultat :

Quelques remarques qui me paraissent importantes :

• Quand EC est maximale, EL est nulle, et inversement (quand E_C est nulle, E_L est maximale).
• L'énergie totale du système tend à diminuer au cours du temps. Cela correspond à sa dissipation par Effet Joule dans le conducteur ohmique (car sa valeur est non négligeable ici) !

Entretenir les oscillations, comment ?

Lors de notre dernier graphe énergétique, on a pu remarquer qu'au cours du temps, la quantité d'énergie baissait, car elle se dissipait dans le conducteur ohmique. C'est vrai pour les régimes apériodiques (critiques ou non) et pseudopériodiques. Cependant, dans le cas d'un régime périodique...la résistance est nulle ou négligeable ! L'énergie totale est donc constante. Voici ce que cela donne :

Vous vous en doutez, il est possible d'utiliser un dispositif d'entretien des oscillations. Ce dispositif va fournir au circuit l'énergie perdue dans le conducteur ohmique, pour faire croire à un régime périodique. Notez bien que dans ce cas, la période des oscillations est égale à la période propre, c'est-à-dire, comme vu plus haut, `T_0 = (2pi)/omega_0 = 2pisqrt(LC)`.

Comment fonctionne le dispositif d'entretien ?

Ce que je vais vous dire n'intervient pas dans le programme du Bac. Ce dispositif est constitué d'un amplificateur opérationnel (ampli op' pour les intimes) ainsi que d'un rhéostat (résistance à valeur variable), branchée en négatif (dans le sens inverse des autres donc). L'ampli op' (c'est son rôle) va permettre de mesurer la différence de potentiel entre ses deux entrées...Ce qui correspond à l'énergie perdue dans le conducteur ohmique ! La valeur du rhéostat s'adapte alors pour fournir la même quantité d'énergie, et ainsi maintenir le système dans un état périodique.

Enfin finie ! Cette partie riche en nouveautés vous aura permis :

• De découvrir 2 briques fondamentales de l'électronique
• De manier les équations différentielles
• De bien visualiser ce qu'il se passe réellement, avec la loi d'additivité des tensions, les niveaux d'énergie, ...

C'est un bilan très positif, qui vous prépare bien pour la partie qui suit...la mécanique de Newton !