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Avec le condensateur, la bobine est probablement l'élément le plus courant en électronique un peu sophistiquée. Le circuit que nous allons étudier (en lui-même) n'a pas tant d'applications que ça, mais le prochain sera très fertile !

La Bobine en convention récepteur

Définition et symbole

Qu'est-ce qu'une bobine ?

Eh beh ! On commence fort avec les questions .Plus sérieusement, vous avez oublié ? On l'a vu en Première, à l'occasion des chapitres sur l'Electricité. C'est simplement un enroulement très resserré de fil électrique. Tenez, voici une photographie :

(Source)

Le symbole électrique de la bobine, est, en toute logique :

Ce fil conducteur présente souvent une résistance extrêmement faible, qu'il faudra cependant prendre en compte dans notre étude ! Ainsi, comme pour le condensateur, on peut représenter une bobine "réelle" comme l'association (en série) d'une bobine "parfaite" (de résistance nulle) et d'un conducteur ohmique de résistance...r.

En plus de cet enroulement, on peut parfois trouver un noyau de fer doux entre les spires de la bobine. Ce noyau de fer est sensible au champ magnétique créé par le courant lorsqu'il traverse la bobine, et a pour effet d'augmenter l'inductance de la bobine.

Et l'inductance, c'est...?

C'est une valeur propre à la bobine utilisée, c'est tout ce que je peux vous dire pour l'instant . Mais nous en reparlerons d'ici quelques lignes !

Etude expérimentale

Afin d'avoir un support, nous allons réaliser un circuit qui nous permettra de visualiser la tension et l'intensité aux bornes de notre dipôle "bobine-résistance".

En réalisant ce montage :

...on peut étudier la réponse de la bobine en intensité, et en tension. Ici, contrairement au condensateur, c'est l'intensité qui nous intéresse (j'y reviendrais plus tard); on va donc alimenter le circuit avec un générateur de courant triangulaire.

Pourquoi pas sinusoïdal, comme d'habitude ?

On aurait pu. Effectivement, le bobine ne fonctionne pas "mieux" en courant triangulaire ! Cependant, vous verrez dans très peu de temps que ça nous simplifiera beaucoup la vie.

Enfin, les branchements permettent de visualiser la tension et l'intensité sur les voies 1 et 2 d'un oscilloscope.

Mais moi, je ne sais jamais comment bien les brancher...

Avec quelques astuces à garder en tête, c'est simple et logique . Tout d'abord, la masse (l'espèce de petit râteau) doit être présente sur chaque voie que l'on veut visualiser. Pour être sur la voie 1 (R) et la voie 2 (L), elle doit donc être entre les deux.

Ensuite, on branche les fils déterminant la voie (1 ou 2) selon ce que l'on veut mesurer. Donc, récapitulons :

• Pour relever la tension aux bornes de la bobine "idéale", on place la bobine entre la voie 1 et la masse.
• Pour relever la tension aux bornes du conducteur ohmique, on place la bobine entre la masse et la voie 2.

Retenez également que ce qui sera affiché, c'est la tension entre la masse et la voie, dans ce sens là.

Reprenons notre schéma, que je vais compléter pour l'occasion.

Attends, attends ! T'avais dit qu'on relèverait la tension et l'intensité. Mais là, on relève 2 tensions !

C'est tout à fait exact. Cependant, on peut tracer les courbes u_L = f(t) et i = g(t), car  `i=u_r/r=-u_2/r`. Le résultat en images :

A présent, nous allons analyser ce graphe afin d'en déduire une nouvelle notion : l'inductance.

Inductance de la bobine

Le temps est venu de comprendre l'avantage du courant triangulaire (en dent de scie) ! Regardez : pendant une demi-période, l'intensité est de la forme...d'une droite ! Cela veut dire que l'on peut exprimer l'intensité sous cette forme :

i(t) = at + b

Où a et b sont des constantes, et t le temps (en secondes). Si l'on ressort ses souvenirs poussiéreux sur les dérivées, on constate que `(di)/(dt) = a= constante`.

En quoi ça va nous aider ?

Eh bien, notre tension aussi est constante (pour une demi-période) ! On peut donc établir une relation de proportionnalité entre la tension et l'intensité aux bornes de la bobine :

`u_L = k.(di)/(dt)`

Où k est un coefficient de proportionalité quelconque absolument pas quelconque . Ce coefficient dépend de la bobine utilisée, et porte le nom d'inductance. Par convention, la lettre L est choisie pour le représenter, en hommage au physicien Lenz.

Ah, et dernière chose : cette inductance s'exprime en Henrys (H). Encore une fois, le nom de l'unité vient du physicien qui l'a découverte, ici Joseph Henry.

On a donc `u_L = L(di)/(dt)`.

Retenez bien qu'il n'y a pas de Physique ici, simplement des accomodations mathématiques !

Mais donc une inductance, ce n'est qu'un coefficient de proportionnalité  ?

Pas du tout ! En fait (mais je dépasse encore le Bac, là), n'importe quel courant électrique i crée un champ magnétique, et donc un flux magnétique que l'on note φ. D'après la loi de Lenz, ce flux s'oppose à d'autres variations en générant une tension interne au circuit qui tend à réduire les variations de courant dans le circuit.

Ainsi, même un fil électrique simple (et droit !) possède une inductance (très faible). Les bobines (qui portent bien mieux leur nom en anglais - inductors - "créateurs d'inductance"), en concentrant le champ magnétique, élèvent la valeur de l'inductance locale.

Pour vous montrer que l'inductance ne dépend pas de la valeur de l'intensité mais uniquement de la bobine, voici sa formule :

`L = (mu_0N^2S)/l`

Où N est le nombre de spires, S la section (en m²), l la longueur (en m) et μ₀ une constante magnétique qui vaut 4`pi` .10^-7 H.m^-1.

Tension aux bornes de la bobine

En fait, j'ai omis de parler de quelque chose...Mon raisonnement et ma formule précédentes (`u_L = L(di)/(dt)` ) sont valides, mais je n'ai pas bien pris en compte tous les cas d'utilisation possibles ! Ainsi, ma formule pour calculer la tension aux bornes de la bobine n'est vraie que dans un cas bien précis.

Saurez-vous trouvez l'erreur ?

N'hésitez pas à passer quelques minutes à chercher au calme, avec le début de ce cours, une feuille, un crayon et un cerveau (éléments indispensables !). Pourquoi ? Ce genre d'exercices permet de vous construire une culture scientifique, et une intuition, qui vous seront utiles pour résoudre certains problèmes plus ardus.

"L'erreur", c'est que je me suis placé dans le cas d'une bobine "idéale", c'est-à-dire de résistance interne nulle. Ce n'est que très rarement le cas en pratique ! En fait, ce n'est même jamais (vraiment jamais !) le cas réel, c'est simplement un outil théorique pour éviter d'alourdir les calculs .

Pour prendre en compte cette résistance interne, nous avons vu plus haut que l'on pouvait décomposer la bobine "réelle" en 2 éléments :

• Une bobine "idéale", de résistance interne nulle.
• Un conducteur ohmique (qui correspond à la résistance interne), dont la tension aux bornes est bien connue : `u_r = ri`

Voici donc la formule de la tension aux bornes de la bobine pour le cas exhaustif :

`u_L = ri + L(di)/(dt)`

Réponse du dipôle RL à un échelon de tension

L'intensité ne nous intéresse plus, il est temps de la reléguer au placard. Voici donc le montage que nous allons utiliser pour l'étude du comportement face à un échelon de tension :

Ce montage est simple, je n'ai rien d'autre à dire que... Au travail !

Réponse en intensité

Nous allons nous pencher sur l'équation différentielle vérifiée par l'intensité. Nous allons prendre notre bon vieux point de départ habituel : la loi d'additivité des tensions ! Cela fonctionne toujours pareil, on commence par ce que l'on peut observer :

`u_R + u_L = E`

Ensuite, on enchaîne avec ce que l'on sait :

u_R = Ri, et `u_L = L(di)/(dt)`.

Pourquoi pas `u_L = L(di)/(dt) + ri` ?

Regardez : ici, on a décomposé la bobine, et le rôle de la résistance interne est maintenant joué par le conducteur ohmique.

Donc :

`Ri + L(di)/(dt) = E`

Nous y sommes presque ! Effectivement, on veut une équation qui relie i et sa dérivée (une équation différentielle). Ce n'est pas le cas ici !

Pardon ? Mais si, regarde, y'a i, y'a `(di)/(dt)`...

Non, non, trois fois non ! Cette équation (pour le moment) n'exprime pas i en fonction de sa dérivée...Mais Ri en fonction de la dérivée de i ! Cela change tout. Ceci dit, comme R est une constante, on peut aisément diviser par R.

Du coup, l'équation finale et valide est :

`i(t) + L/R(di)/(dt) = E/R`

Ne vous faites pas avoir par ce satané R !

Solution de l'équation

Nous allons à présent étudier les solutions de l'équation mise en avant précédemment. Encore une fois, vous n'êtes pas capables, en Terminale S, de trouver ces solutions, mais vous devez pouvoir vérifier qu'une solution vérifie ou non l'équation.

Nous souhaitons vérifier que la fonction

`i(t) = Ae^(-t/(L/R)) + B`

est solution de l'équation différentielle. Bien évidemment, à nous de trouver A et B .

Afin de pouvoir remplacer la solution supposée dans l'équation initiale, on va dériver i(t) :

` ``(di)/(dt) = -(A/(L/R))e^(-t/(L/R))`

Cette dérivée a l'air terrifiante, mais elle ne fait appel qu'à deux règles de dérivation :

• (uv)' = u'v + uv'
• (e^u)' = u'e^u

Où u et v sont des fonctions, et u' et v' leurs dérivées respectives.

Maintenant qu'on a tous les élements, on est prêts à remplacer !

`Ae^(-t/(L/R)) + L/R(-Ae^(-t/(L/R))) + B = E/R`

Ca représente quoi, `E/R` ?

La constante `E/R` représente la valeur limite de l'intensité lors de la charge d'une bobine. Ca se tient :

• Lorsque la bobine est très proche de sa valeur maximale de chargement, on est en régime permanent
• Or, en régime permanent, l'intensité est constante
• Et la dérivée d'une constante vaut 0.
• Donc, lorsque la bobine est chargée, l'équation différentielle qui détermine la valeur de l'intensité vaut `i(t) = E/R`

Pendant que vous lisiez mon explication, j'ai pris la liberté de simplifier un peu l'équation juste au-dessus. Vous ne m'en voulez pas, j'espère !

`A(1 - L/RL/R) e^(-t/(L/R)) + B = E/R`

De tout ce joyeux bazar, on peut déduire la valeur de B : `B = E/R`. C'est la valeur pour que la solution supposée vérifie l'équation différentielle pour tout temps t. L'intensité s'exprime donc sous cette forme :

`i(t) = Ae^(-t/(L/R)) + E/R`

Pour A, c'est un petit peu plus compliqué (mais pas beaucoup !); lorsque t = 0, i = 0, et ainsi :

`0 = Ae^0+E/R`

Comme e⁰ = 1, on en déduit très vite que A = `-E/R`. C'est tout !

Réponse en tension

Pour la tension, c'est extrêmement rapide. En effet, on sait déjà que :

`u_L = L.(di)/(dt)`

Or `(di)/(dt) = E/R(1/(L/R)e^(-t/(L/R)))` . Donc :

`u_L = Ee^(-t/(L/R))`

Bien sûr, ce n'est qu'une astuce pour gagner du temps, on aurait très bien pu passer par la loi d'additivité des tensions. Si vous souhaitez le faire, c'est un bon entraînement. Mais vous n'avez pas besoin de la correction, le raisonnement est le même à chaque fois. Posez votre question sur les forums en cas de problème !

Voici un graphe "global" qui résume l'évolution de l'intensité aux bornes de la bobine lors d'une charge, puis d'une décharge.

Ca ressemble étrangement à ce qu'on a vu (en tension) pour le condensateur, n'est ce pas ?

Regardez mon graphe précédent. Le courant met du temps à s'installer dans la bobine lors de la charge...Mais également du temps à la quitter dans le cas de la décharge. On peut donc en conclure que la bobine s'oppose aux variations de courant dans un circuit.

Constante de temps

Vous vous rappelez la constante de temps `tau` ? J'espère bien, car elle est de retour ! Vous aurez remarqué que dans chacune de nos équations, le terme `tau = L/R` apparaît. Inutile de vous dire ce que ça représente, vous le savez bien ! Cette constante a exactement la même signification que celle du condensateur. Vérifions que cette expression est bien homogène à un temps. Il est temps de ressortir des cartons l'analyse dimensionnelle !

`[R] = [U][I]^(-1)`

`[L]=[U][T][I]^(-1)`

Ainsi, `([L])/([R])`, tenez-vous bien :

`([L])/([R])=([U][T][I]^(-1))/([U][I]^(-1))`

Ce qui, après simplification, nous donne...`([L])/([R])=[T]`. La constante de temps s'exprime donc bien en secondes.

Pour la déterminer, je vous fais confiance. La méthode de la tangente à l'origine, ou encore celle des 63%, marchent à merveille, aussi bien côté charge que décharge !

Ne sous-estimez pas la constante de temps, elle est très utile ! Bien sûr, je pourrais vous dire de me croire sur parole, mais je vois d'ici vos mines sceptiques . Imaginez seulement l'une de ces lampes où un bouton sert à régler la durée d'allumage de la lampe; plus le bouton est poussé, plus l'ampoule mettra du temps à s'allumer. Ce bouton joue tout simplement sur la valeur de la résistance R d'un rhéostat (une résistance à valeur variable). Cela a pour effet de modifier la valeur de `L/R` , et donc du temps nécessaire à l'allumage complet de l'ampoule.

Energie accumulée dans une bobine

Dans une bobine, l'énergie magnétique accumulée vaut :

`E_L = 1/2Li^2`

Encore une fois, cette formule possède des fondements. Une fois de plus, cette explication est au-delà du niveau "Bac". Lisez la par intérêt, mais inutile de savoir la refaire !

Concentrons nous sur le cas d'un élement très petit - infinitésimal - de charge dq. Nous souhaitons (dans le cadre de notre circuit) élever sa tension de 0 à u_L. La quantité de travail requise pour cette opération s'exprime comme :

dW = u_L

Or `u_L = L(di)/(dt)`. Ainsi :

`int(dW) = int(L(di)/(dt))`

`W = 1/2Li^2`

J'en profite pour vous faire passer un message : Il n'y a pas de formule "magique" en Physique ! Si vous n'arrivez pas à les retenir, arpentez les forums, posez des questions,... Car toute formule a une explication...Et l'on retient toujours ce que l'on comprend !

Nous avons enfin vu ces deux briques fondamentales de l'électronique que sont le condensateur et la bobine. Pour conclure avec cette partie copieuse, je vous propose d'associer les deux dans un nouveau type de circuit : Résistance - Bobine - Condensateur. On en profitera pour faire un point sur ce que vous savez faire !