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Dipôle RC : A l'assaut du consensateur

,par Jokyjo

Des trois types de systèmes électriques que nous allons étudier, le condensateur est de loin de plus simple. N'allez cependant pas croire qu'il est inutile ! De votre ordinateur à votre lampe de poche, ou encore le flash de votre appareil photo, ils sont partout.

Ce chapitre sera extrêmement mathématique comparé aux cours précédents. Vous devrez être à l'aise avec les dérivées, et avoir entendu parler des équations différentielles.

Prenez votre courage à deux mains, car cette partie représente un gros bout du programme de Terminale !

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Le condensateur

Définition et symbole

Si l'on remonte aux origines, on peut dire que le condensateur a été le premier moyen de stocker de l'électricité en vue de l'utiliser plus tard, ou de la diffuser plus lentement dans un système.

Le premier condensateur est très ancien, il s'agit de la bouteille de Leyde. Il ressemblait à ceci :

 

(Source)

Croyez-moi ou pas, cet espèce d'engin est capable de fonctionner comme une batterie !

Depuis le 18^ème siècle, les choses ont beaucoup changé, et les condensateurs sont de bien plus petite taille. Ils sont d'ailleurs partout ! Dans l'ordinateur sur lequel vous lisez ce cours, il y en a plusieurs dizaines. Vous croyez pouvoir vous échapper ? Votre téléphone portable en contient lui aussi un paquet...

De plus, aujourd'hui, ils ne ressemblent plus à la bouteille de Leyde. Les condensateurs sont formés de deux armatures séparées par un matériau isolant, que l'on appelle le diélectrique. Sa représentation sur un circuit découle de cette définition :

Ce diélectrique pose d'ailleurs quelques problèmes : placez le condensateur dans un circuit série, et vous comprendrez. Le circuit se comportera comme s'il était ouvert !

Par ailleurs, le condensateur "détecte" des variations d'intensité. Ainsi, il n'est utilisable que pendant un "régime transitoire", ou, tout simplement, en courant variable.

 Charge et décharge

J'ai pris l'analogie avec une batterie plus haut, je vais continuer (comment ça, je suis flemmard ?!). De même qu'une batterie, un condensateur se charge, et se décharge. Prenons le circuit suivant,il va servir pour nous faire la main :

Ici, le condensateur (C) est associé à une résistance (R). Nous pouvons par conséquent dire que nous sommes face à un dipôle RC !

Lorsqu'un condensateur est soumis à une tension, la "branche" du circuit sur laquelle il se trouve sera parcourue par une intensité i (je l'ai représentée en rouge sur mon schéma). Maintenant que notre circuit est alimenté en électricité, il y a deux cas de figure :

• Si l'interrupteur est en position 1 : Le courant circule dans le sens qu'on a représenté en rouge. L'armature notée A se charge (sa charge électrique q augmente), tandis que l'armature B se charge de -q (en valeur absolue, on peut dire que cette charge augmente ).
• Si, au contraire, l'interrupteur est en position 2 : Le courant circule dans le sens inverse de celui qu'on a représenté. La charge de l'armature A diminue, et on dit que le condensateur se décharge.

Vient une notion importante, celle de convention récepteur. Selon cette convention, on dit que :

• Le circuit est orienté de A vers B (A et B sont les 2 armatures du condensateur), c'est-à-dire que le courant circule de A "vers" B.
  
• q représente toujours la charge de l'armature A
• Enfin, la tension u_C aux bornes du condensateur est de sens opposé à l'orientation du circuit, c'est-à-dire de sens opposé à l'intensité du courant.
  

 Nous avons déjà parlé de cette convention en Première, mais un rappel ne fait jamais de mal... .

Quel est l'intérêt d'avoir énoncé toutes ces règles ?

Vous avez déjà pu constater qu'en électricité, un changement de signe arrive très vite. Ces quelques règles ont pour but d'unifier les résultats de tous les chercheurs, pour pouvoir les confronter plus facilement.

Relation entre la charge q et l'intensité du courant

Si le condensateur se charge lorsque le courant circule, vous vous doutez bien qu'il y a un lien entre les deux . On peut relier l'intensité et la charge comme suit :

`i=(dq)/(dt)`

i s'exprime en Ampères, et q représente la charge en Coulombs (C).

Attention ! Cette relation n'est valable qu'en convention récepteur ! Vous comprenez à présent l'intérêt de ces règles, j'espère...

Capacité du condensateur

J'ai dit plus haut qu'au passage du courant, le condensateur se "chargeait"...Mais quand peut-on considérer qu'il est chargé ?

Eh bien, tous les condensateurs ont une capacité limite, qu'ils ne peuvent dépasser. Cette grandeur porte le nom bien trouvé de...capacité .

Vous aurez l'occasion de vérifier en TP que la charge d'un condensateur est proportionnelle à la tension qu'on applique à ses bornes. Ainsi :

`q=C.u_C`

À partir de cela, on peut retrouver la capacité C très facilement :

`C=q/u_C`

q est une charge, et à ce titre, s'exprime toujours en Coulombs, et u_C en Volts. Quant à C, elle s'exprime en Farads (F). Cette unité vient du scientifique Faraday, qui a mis en évidence bon nombre de phénomènes électriques liés au condensateurs.

Le Farad en lui même est une unité bien trop grande pour les condensateurs des laboratoires. De manière générale, on trouve plutôt des capacités en milliFarads (mF), microFarads (`muF`), nanoFarads (nF), voire même picoFarads (pF) !

Réponse d'un dipôle RC soumis à un échelon de tension

C'est quoi un échelon de tension ?

Un échelon de tension, c'est quand la tension aux bornes d'un dipôle change brutalement de valeur. Il y a deux cas possibles :

1. La tension passe brutalement de 0 à une valeur E (la force électromotrice du générateur); on parle d'échelon montant de tension
2. Au contraire, la tension passe brutalement de E (toujours la force électromotrice) à 0; on est face à un échelon descendant de tension

La variation est tellement rapide qu'on peut la représenter comme ceci :

Lorsque le dipôle (que ce soit RC ou quoique ce soit d'autre) réagit à un échelon de ce genre, on dit qu'on a la réponse du dipôle à un échelon de tension. Cette "réponse", ce comportement, peut être caractérisé par différents paramètres, tels la tension aux bornes du dipôle, l'évolution de la charge admise par le condensateur au cours du temps...et bien d'autres.

Comment ça marche sur le papier

Je vous propose à présent de jouer aux médiums . A l'aide des propriétés électriques des circuits et de quelques outils mathématiques (car que ferait-on sans eux ?), nous allons tenter de prédire le comportement d'un dipôle RC (pour ceux qui n'auraient pas tout lu, RC = Résistance Condensateur).

Tous les résultats que nous trouverons là, vous aurez probablement l'occasion de les vérifier en séance de TP. Ce n'est pas une raison pour sauter cette partie (je vous vois venir...) ! A l'écrit du Bac, c'est le raisonnement théorique qui vous sera demandé !

Nous allons étudier ce dipôle d'abord en tension, puis en intensité. En d'autres termes, nous allons d'abord étudier sa réaction lorsque l'on fait varier la tension délivrée par le générateur dans le dipôle, puis la réaction lorsque l'on fait varier l'intensité.

On aura donc 2 fonctions, une pour la tension, l'autre pour l'intensité ?

Nous aurons bien des fonctions (ce sont nos "prédictions" ),mais...nous en aurons plus que deux !

En effet, on ne peut pas déterminer le comportement global du dipôle RC avec une seule fonction. Simplement car ce comportement n'est pas le même tout le temps ! Souvenez-vous :

• Le condensateur peut se charger, et il y a accumulation de charges sur l'armature A.
• Mais il peut aussi se décharger, et la charge de l'armature A diminue.

Il y aura donc 2 cas à séparer, vous l'aurez compris : celui de la charge et celui de la décharge. Comme en général, on commence par charger un condensateur avant de le décharger, ...Je vous propose de commencer par la charge .

Charge du condensateur, côté tension : équation

Ici, on ne veut qu'étudier le dipôle RC. Notre circuit est donc le suivant :

Remarquez que mis à part le générateur, il n'y a qu'une résistance R et un condensateur C sur le circuit.

Et alors, c'est important ? Qu'est ce que ça change si on avait ajouté une ampoule ?

Rappelez-vous la Première. Nous avons vu la loi d'additivité des tensions. Cette loi nous informe sur le fait que la tension E délivrée par le générateur est égale à la somme des tensions des composants du circuit. Or, la force E du générateur, on la connaît, c'est même nous qui l'avons choisie . Donc :

`E=u_C+u_R`

Où u_C = tension du condensateur, et u_R=tension du conducteur ohmique. Et là, on va jouer à mon jeu préféré : on va combiner des formules . Je veux l'expression de E, mais sans u_R ou `i` .

Pourquoi doit-on les faire disparaître ?

C'est important, car ce sont des données que nous n'avons pas. Nous avons la tension E, mais pas l'intensité parcourant le circuit !

Je vous laisse réfléchir un peu, moi je vais prendre un café .

...

...

Me revoilà !

Voici la solution à laquelle je m'attendais :

Commençons par ce que l'on a :

`E=u_C+u_R`

Or, u_R est la tension aux bornes d'un conducteur ohmique, ainsi:

`u_R=R.i`, et :

`E=u_C+R.i`

De plus, nous sommes en convention récepteur !

`i=(dq)/(dt)`. Continuons !

`E=u_C+R(dq)/(dt)`

Et enfin, comble du raffinement, nous savons également que :

`q=Cu_C` En avant pour le final !

`E=u_C+R(dCu_C)/(dt) = u_C+RC(du_C)/(dt)`

Nous avons pu extraire le "C" de la dérivée car il s'agit d'un terme constant.

Tiens tiens ! Nous avons une équation qui implique une fonction (u_C) et sa dérivée...Ca ne vous rappelle rien ? En tous cas, si ça vous rappelle quelque chose, ça vous aidera pour trouver les solutions !

Charge du condensateur, côté tension : solution !

Poser les problèmes, c'est bien, mais les résoudre....c'est clairement mieux ! En Terminale S, on ne vous demande pas de savoir résoudre les équations différentielles que nous avons posées plus haut. Par contre, on peut tout à fait vous poser une fonction du style `u_C=Ae^(-t/(RC))+B` et vous demander pour quelles valeurs de A, B et RC cette fonction est bien solution de l'équation différentielle.

Attention ! Lorsque je parle de A, B et RC, il s'agit de constantes ! Notre équation a pour variable le temps t. Une expression est donc constante si elle ne contient pas t.

Alors, comment va-t-on s'y prendre ? Nous allons supposer que la fonction `u_C=Ae^(-t/(RC))+B` est solution de l'équation différentielle déterminée plus haut, à savoir :

`RC(du_C)/(dt)+u_C=E`

Nous avons déjà u_C, il nous manque sa dérivée. Je vous laisse vous en charger et arriver à...

`(du_C)/(dt)=-A/(RC)e^(-t/(RC))`

Ensuite, on reporte simplement u_C et `(du_C)/(dt)` dans l'équation à vérifier.

Simplement ?! Mais c'est l'œuvre du démon, ton affaire !

Oh non. Le démon a bien mieux dans son sac ! Mais regardez; si l'on vous dit "Vérifiez que x=4 est solution de l'équation x-4 = 0". Vous me direz : enfantin ! ...Nous faisons exactement la même chose, puisque nous souhaitons vérifier que `u_C=Ae^(-t/(RC))` est solution de l'équation `RC(du_C)/(dt)+u_C=E`. Tout simplement, avec des expressions un peu plus complexes que 4, ou x. Mais il suffit de faire attention !

Donc, après report :

`-RCA/(RC)e^(-t/(RC))+Ae^(-t/(RC))+B=E`

On pourrait être tentés de simplifier de manière (un peu) barbare :

`-Ae^(-t/(RC)) + Ae^(-t/(RC)) + B = E`

(j'ai simplifié les 2 "RC")

Puis :

`B = E`

(les `Ae^(-t/(RC))` s'annulent)

Cela serait simple, trop simple...Et cela ne fait pas notre affaire !

Ha bon ? Mais pourtant, ça marche non ?

Certes. Mais nous allons introduire une constante, du nom de `tau` (prononcez "tau"), et — pour l'instant — nous allons supposer que `tau = RC`. Ne vous inquietez pas, rien n'est vraiment admis ici, et vous en saurez plus sur cette constante un peu plus bas !

Reprenons donc notre équation initiale :

`-RC(A/(RC))e^(-t/(RC)) + Ae^(-t/(RC)) + B = E`

Que l'on peut élégamment factoriser pour obtenir :

`Ae^(-t/(RC))(1-(RC)/tau)+B=E`

Par ailleurs, notre variable est t, et, pour que la fonction u_C soit solution de l'équation différentielle, il faut que cette équation soit vérifiée pour tout t.

Cette équation est solution à deux conditions :` `

1. `1-(RC)/tau` est nul, donc `tau=RC`
   
2. B=E

Et A ?

A est une constante mathématique utilisée pour modéliser les conditions initiales du système. On peut la déterminer en sachant que lorsque t=0; u_C=0.

À partir de la formulation de u_C, on peut trouver A :

`u_C = Ae^(-t/(RC))+ B = 0`

Or, B = E, et, à t = 0, l'exponentielle vaut e⁰ = 1. Ainsi :

`A1 + E = 0 <=> A+E = 0 <=> A = -E`

Donc A=-E. Notre solution finale (enfin !) est donc de la forme :

`u_C=E(1-e^(-t/(RC)))`

Si vous souhaitez comprendre les fondements de ces solutions, il vous faudra aller butiner du côté des équations différentielles, en Mathématiques. Vous pouvez visionner ce très bon PDF. Cependant, il est largement au-delà du niveau du Bac, et vous devrez faire de nombreuses recherches annexes pour tout comprendre ...

Constante de temps du dipôle RC

Plus haut, je vous ai parlé d'une constante, `tau`, sur laquelle nous reviendrions plus tard. Soufflons entre deux équations, et parlons-en, de cette constante de temps !

Elle nous permet de savoir les propriétés du circuit...En se référant uniquement à ce que le constructeur a écrit !

Quelle unité pour la constante de temps ?

Lors de l'examen du Bac, et en Physique de manière plus générale, on vous demande souvent de connaître les unités dans lesquelles s'expriment nos formules. La méthode de l'analyse dimensionnelle permet de retrouver l'unité d'un résultat à partir des unités de sa formule. Cela permet de vérifier qu'un calcul, qu'une formule est cohérente (si pour trouver un temps t, l'analyse dimensionnelle de votre formule donne des mètres, c'est qu'il y a un léger problème ...).

On utilise les "[]" pour exprimer une dimension. Ainsi, si d est une distance, [d] vaut "mètres".

` ``tau = RC = [R][C]`

` `

Mais :

[R]=[U]/[I] = [U][I]^-1

or `C = q/u_C` ` `

[C] = [Q][U]^-1

Or, une charge, c'est une intensité au cours d'un temps. Donc [Q]=[I][T]

Attention ! Ce n'est pas une formule de calcul mais un moyen d'exprimer la dimension de Q !

Revenons à nos moutons dimensions :

[C] = [I][T][U]^-1

Donc, en combinant les deux :

`[tau] = [R][C] = [U][I]^(-1)[I][T][U]^(-1) = [T]`

` `

Après simplification, on remarque que `tau` ` ` s'exprime comme un temps...C'est-à-dire en secondes ! Nous avons vérifié la cohérence de la formule ` ``tau = RC`, pour R en ohms et C en Farads.

Echelle de valeur

Cette constante de temps est très utile pour déterminer le temps pris par les transferts d'énergie (du générateur au condensateur, du condensateur au circuit, ...).Ces transferts d'énergie ne sont pas instantanés, bien qu'on puisse parfois en avoir l'impression (Certaines charges se caractérisent par des "flashs" lumineux - lorsqu'une ampoule est présente, bien sûr...). Au bout de  quelques secondes (`t = tau`), le condensateur est chargé à 63%. Et on considère qu'au bout de 5 `tau` ` ` secondes, il est chargé à 99%.

Lors d'une charge ou d'une décharge, on distingue d'ailleurs 2 "régimes de fonctionnement :

• Le régime dit "transitoire" : de t = 0s à ` `.
• Le régime dit "permanent" : au-delà de ` `.

Retenez bien ces deux noms, il est très probable qu'on vous demande de les situer lors du Bac !

Comment la mesurer ?

Il arrive cependant que parfois, vous n'ayez pas accès aux instructions du constructeur (lors....d'un TP du Bac, entre autres ). Vous êtes également tenus de savoir trouver expérimentalement cette constante ! C'est fou ce qu'on vous demande...

Je vais vous donner deux méthodes : la première est très simple à mettre en place, mais très imprécise lorsque dessinée à la main. La seconde est un peu plus calculatoire, mais nettement plus appréciable niveau précision !

Bah alors, pourquoi tu donnes la première ? Si la deuxième est mieux, on utilisera qu'elle...

Attention ! Je n'ai jamais dit que la seconde méthode était mieux. Je vais vous les exposer, en expliquant leur intérêt.

Méthode de la tangente à l'origine

Cette méthode, je vous avais prévenu, est extrêmement simple à mettre en place : il suffit de prendre le point d'origine, et de tracer la tangente à la courbe de charge du condensateur en ce point. Cette tangente coupe la droite y=E. En notant l'abcisse de ce point...Vous trouverez la constante de temps ! Un beau dessin complet valant mieux qu'un long discours, je m'éxécute :

Mathématiquement, c'est logique. On va noter m le coefficient directeur de la courbe ` `` ` .

` `

` `

Si l'on se place en notation mathématique, il s'agit ni plus ni moins que de la dérivée de u_C, soit :

` ` `m=(dUc)/(dt) = (dE(1-e^(-t/tau)))/(dt)`

` `

N'oubliez pas que E et `tau` ` ` sont des constantes, ça simplifiera grandement le calcul .

`(E(1-e^(-t/tau)))' = (E)'-(Ee^(-t/tau))' = 0 - (-(E/tau)e^(-t/tau))`

Ce qui donne :

`m = (Ee^(-t/tau))/tau`

` `

Lorsque t = 0 (à l'origine des temps, donc), nous avons :

` ` `m = E/tau`  car e⁰=1

Cela signifie que le cœfficient directeur de la tangente à l'origine a pour valeur ` `` ``E/tau` .

Cette méthode est tout à fait valable lorsque vous voulez avoir une idée de la constante de temps, sans trop de précision, ou si vous travaillez avec un logiciel (par exemple Excel, où tout autre tableur-grapheur que vous pouvez avoir ). Effectivement, ces tableurs sont beaucoup plus précis que nos mains, et peuvent tracer une tangente parfaite en très peu de temps (quelques millisecondes).

Je vous avais bien dit que ce serait vite fait . Passons à la seconde !

Méthode dite des "63%"

Cette méthode propose un petit calcul; si l'on reprend l'équation différentielle de la charge du condensateur en tension.

Equation générale : `u_C = E(1-e^(-t/tau))` ` ` ` `

Si `t=tau` :  `u_C = E(1-e(-tau/tau))= E(1-e^(-1)) = E - (1-0,37) = 0,63E` ` `

Ainsi, on peut déduire `tau`, abscisse de la courbe de charge du condensateur lorsque u_C = 63%` ` de E.

Décharge du condensateur, côté tension : équation !

Suite à cette longue pause, revenons à nos chères équations. Je ne vous cache pas que si vous avez compris le raisonnement pour la charge, celui là va vous sembler simple au possible . On va reprendre l'équation que l'on a trouvée pour la charge :

` ``u_C+RC(du_C)/(dt)=E`

Quoi ?! Mais t'avais pas dit qu'on séparait les deux cas parce que c'était trop différent ?

Si, si ! En réalité, il n'y a qu'une chose qui change...mais elle est de taille. Tenez, je vais vous aiguiller : quelle est la valeur de E ?

La valeur de la tension délivrée par le générateur ?

Tout à fait. Or, ici, on est en phase de décharge. Si l'on reprend le circuit du début de chapitre, on se rend compte que quand l'interrupteur est en position 2 (ici, la décharge), il n'y a pas de générateur !

Donc E = 0, et :

`u_C+RC(du_C)/(dt) = 0`

Décharge du condensateur, côté tension : solution !

Vous vous souvenez des solutions pour la charge ? Allez, je vous les rappelle :` `

`Ae^(-t/tau)(1-(RC)/tau)+B=E`

Mais ici, on est dans le cas d'une décharge...et ça va nous "décharger" pas mal de boulot...car E = 0 !` `` `

`Ae^(-t/tau)(1-(RC)/tau)+B=0`

Souvenez-vous : cette équation, pour être solution, doit être vérifiée quelque soit le temps t. Cela se fait à deux conditions :

1. Que B soit nul
2. Que (`1-(RC)/tau)` soit nul

Or le 2) implique que `tau=RC` !

Voici un schéma-résumé (encore un à connaitre !) des équations que nous venons de voir :

 

En guise de conclusion pour l'étude de la valeur de la tension aux bornes du condensateur, vous pouvez retenir que le condensateur s'oppose aux variations brusques de tension. En effet, lorsqu'on lui soumet un échelon de tension, il est "lent" à la réaction ! On peut donc l'utiliser pour éviter que de tels échelons n'abîment le matériel du circuit.

A tour de l'intensité : équation et solution

Durant toute la (longue) partie précédente, nous avons étudié l'évolution de la valeur de la tension aux bornes du condensateur. C'était long, mais nous allons recommencer ! Cette fois, nous nous placerons du côté de l'intensité, afin de voir comment elle évolue au fur et à mesure que le condensateur se charge, ou se décharge.

Pour la charge comme pour la décharge, n'oubliez pas qu'en convention récepteur, la loi d'Ohm stipule que `i=u_R/R` (où u_R est la tension du conducteur ohmique).

Charge :

Nous allons reprendre la loi d'additivité des tensions, qui nous est décidément bien utile. Le cas échéant, elle nous permet de dire que :

`E=u_C + u_R`, donc `u_R=E-u_C`

Nous avons donc `i=(E-u_C)/R`. Or, la partie précédente nous a appris que, lors de la charge, `u_C=E-Ee^(-t/(RC))`. Ainsi :

`i=(E-(E-Ee^(-t/(RC))))/R=``(E-E+Ee^(-t/(RC)))/R=(Ee^(-t/(RC)))/R`

Ainsi, à t=0, `i_0 = E/R` (car e⁰=1). Mais, au fur et à mesure que le temps augmente, cette valeur...diminue ! Car lorsque t augmente, la valeur de `e^(-t/(RC))`, elle, diminue ! Regardez, pour R = 100 Ω et pour C = 1 mF :

t	Valeur de `e^(-t/(RC))`
0	1
1	4,04.10-5
2	2,06.10-9
...	...
10	3,72.10-44

Comme vous pouvez le constater, on se rapproche très près de zéro !  Ceci traduit le fait que plus le condensateur se charge, plus il est "difficile" à charger. 

Comment cela se fait-il ?

Nous avons vu au tout début de ce cours qu'un condensateur, c'était deux armatures conductrices séparées par un isolant.  On peut donc dire que le courant (les électrons) "s'entasse" sur l'une des armatures. C'est un peu comme remplir un bus; la première personne, ce n'est pas difficile, il y a beaucoup de place disponible. La deuxième ne pose pas vraiment problème non plus, car il y a encore des places assises dans le bus. Mais plus il y a de monde, moins il y a de place, et, au final, lorsque le bus est bondé, il devient très difficile d'ajouter une personne en plus...

Décharge :

Alors là, je vais être expéditif...Car c'est exactement le même raisonnement que pour la charge ! Effectivement, dans le cas d'une décharge, on a `u_C+u_R=0` donc u_R=-u_C.

La loi d'Ohm nous permet encore de dire que :

`i=-u_C/R`

Lors d'une décharge, `u_C = Ee^(-t/(RC))`, donc `i= (-Ee^(-t/(RC)))/R`.

Cela veut dire que le courant circule dans le sens négatif, de la valeur `-E/R` à la valeur 0. Il y a donc une discontinuité entre la fin de la charge, et le début de la décharge.

? Une intensité négative ? Tu es sûr de toi ? Une intensité, c'est un débit de charges électriques, comment ça peut être négatif ?

En fait, l'intensité n'est pas vraiment négative, elle circule simplement dans le sens inverse de celui fixé au départ. C'est comme si vous étiez dans une voiture, et que vous disiez que vous roulez à 100 kms/heure. C'est vrai, par rapport à la route. Mais si l'on se place par rapport à la voiture, on peut dire que la route avance à -100 kms/heure ! C'est une vitesse négative...

Comme précédemment, voici un graphe qui résume l'évolution de l'intensité aux bornes du condensateur lors d'une charge, puis d'une décharge.

Energie emmagasinée dans un condensateur

Ce qui serait intéressant, ce serait de savoir combien d'énergie peut être emmaganisée (=stockée) dans le condensateur. Je peux vous le dire; cette énergie vaut :

`E_C=1/2Cu_C^2`

Et elle sort d'où cette formule ?

Elle sort...De plus loin que le Bac ! E_C est une énergie, en Joules donc. Concrètement, on peut se dire que cela représente le travail (voir la partie "Mécanique" du programme) nécessaire à un élément de charge très petit ("infinitésimal", pour parler comme les pros ) pour que sa tension passe de 0 à la valeur u_C. Si l'on note dq le petit élément de charge, dT le petit élément de travail, on a :

dT = u_Cdq

Or, vous savez (car vous avez lu ce cours avec attention ) que q=Cu_C. Donc : dq = Cdu_C. (le 'd' représente la dérivée, et le C est une constante). Ainsi :

dT = u_CCdu_C

Si l'on intègre tout ce joyeux bazar, pour connaître la valeur de ce travail non plus pour un élément infinitésimal, mais pour l'ensemble des éléments de charge, on obtient :

`intCu_Cdu_C=Cintu_Cdu_C = C1/2u_C^2`

Il s'agit de la primitive de x, soit `1/2x^2`. Je ne reviens pas sur la notion d'intégrale, ou de primitives, c'est dans votre cours de maths !

 

Application des condensateurs : Un capteur de niveau d'eau anti-remous

Pour finir ce chapitre par du concret, je vous propose de découvrir le fonctionnement d'un capteur de niveau d'eau "anti-remous". De tels capteurs peuvent être utiles pour déterminer une valeur "seuil" à partir de laquelle (prenons un cas "grave") une inondation est prévisible, par exemple.

Pourquoi anti-remous ?

Eh bien, si le niveau d'eau global est de quelques centimètres en dessous du niveau seuil, le capteur risque de subir un effet de clignotement dû aux vagues présentes à la surface de l'eau.

Ainsi, on voudrait que le capteur laisse passer le courant (et signale donc un niveau d'eau trop élevé) que lorsque le niveau est effectivement au-dessus du seuil. Cela évite par exemple d'endommager les composants du circuit.

C'est ici que le condensateur intervient ! On peut, grâce à lui, stipuler que le niveau d'eau est réellement trop élevé si le condensateur a le temps de se charger complètement. On peut également jouer sur la constante de temps pour déterminer le temps de charge associé.

Et on a là une application réelle et intéressante des condensateurs .

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Enfin, nous en avons fini avec le condensateur ! Je ne peux que vous conseiller, dans votre lancée, de passer à la suite : la bobine, ou dipôle RL !