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Au chapitre précédent, nous avons vu pas mal de généralités sur les ondes : comment on les représente, les "grands" types d'ondes, ...Cependant, ces ondes ne sont pas faciles à étudier mathématiquement : elles sont imprévisibles, on ne sait pas vraiment à l'avance ce qu'il va se passer. C'est pour ça que, quand on le peut, on se ramène à un cas particulier : celui des ondes mécaniques progressives périodiques. En avant !

Mouvement Périodique

Commençons par étudier de plus près l'unique mot qui a été ajouté dans le titre de ce chapitre.

Il s'agit de périodique ! Pourquoi il est là ?

Prenons un exemple à notre échelle. Si vous êtes abonné à un magazine (par exemple Science&Vie), vous en recevez un tout les mois. Vous avez donc peut être déjà entendu parler d'un périodique: c'est le nom que l'on donne à un journal/magazine qui est publié à des intervalles réguliers (tous les jours, semaines, mois...).

En Physique, ca y ressemble : un phénomène est dit périodique s'il se répète à l'identique à des intervalles réguliers de temps. Par exemple, vous faites tourner une roue de vélo (à une vitesse constante) : si vous prenez un point quelconque sur cette roue, vous verrez qu'il fait exactement un tour de roue toutes les 1,2,3... secondes, selon la vitesse de la roue ! Et si la vitesse n'augmente pas, le temps pour faire un tour reste constant également.

Pour finir avec cette partie "définitions", en voici 2 dernières à connaître pour être à l'aise pour la suite du chapitre :

• La période : Il s'agit du temps nécessaire pour que le phénomène se répète identique à lui-même. Pour notre roue de vélo, il s'agit donc du temps nécessaire pour effectuer un tour complet de roue ! Cette période s'exprime en secondes (s).
• La fréquence : C'est le nombre de "phénomènes" qui se répètent en une seconde. On la note très souvent f, et elle s'exprime en Hertz (Hz), du nom du savant qui a passé une grande partie de sa vie à l'étudier . C'est l'inverse de la période ! On peut donc la calculer comme suit :

`f=1/T` (où T est la période)

Mesurer une période : comment faire ?

Vous vous êtes peut-être demandés comment mesurer une période. Vous aurez peut-être pensé à prendre un chronomètre, et à mesurer la période "à la main". Si vous n'avez rien d'autre près de vous, ça peut être pas mal, mais ce n'est pas l'idéal. Je vais maintenant vous présenter 2 différentes façons de le faire.

A l'aide d'un stroboscope

C'est quoi un stroboscope  ??

Il s'agit d'une machine qui émet des flashs lumineux très rapprochés les uns des autres. L'avantage de cette machine est double : les flashs sont périodiques (et vous savez ce que ça veut dire à présent ), et vous pouvez régler la fréquence des flashs émis. Voyons à présent comment l'utiliser intelligemment.

Pour cet exemple, nous allons tenter de mesurer la période de la roue de vélo qui tourne. On va supposer qu'elle tourne à vitesse constante (sinon on s'en sort pas...).

• Placez la roue dans le noir et commencez à la faire tourner (il fait suffisamment noir, vous ne voyez plus le point choisi).
• Placez le stroboscope en face de la roue, à une trentaine de centimètres. Allumez-le, et reglez la fréquence des flashs jusqu'à avoir l'impression que la roue ne tourne plus.

Waow ! La roue ne tourne plus ! Trop fort :D !

En fait, elle tourne toujours, mais nous ne la voyons plus tourner. Pourquoi ? En fait, la roue a eu le temps de faire exactement un tour complet entre deux éclairs ! Nous avons donc l'impression qu'elle n'a pas bougé.

D'ailleurs, si vous augmentez encore la fréquence, vous pourrez voir la roue tourner dans l'autre sens ! Idem, elle tourne toujours dans le même sens, mais elle n'a pas le temps de faire un tour complet entre deux éclairs.

Et une fois que vous avez la fréquence pour laquelle la roue apparaît immobile, c'est du gâteau . La fréquence du strobo est la même que celle de la roue...Il suffit donc d'appliquer `f=1/T` et c'est gagné !

Attention ! Nous sommes face à un phénomène périodique, la méfiance est donc de mise. Car votre période pourrait être fausse, bien que la roue apparaisse immobile ! Je m'explique : Supposons qu'avec votre stroboscope, vous ayez trouvé la fréquence pour laquelle la roue fait exactement 2 tours complets. Vous avez l'impression que la roue est immobile...Mais la valeur que vous relevez vaut 2T (deux fois la période). Pour éviter ce genre d'erreurs, augmentez vos fréquences au lieu de les diminuer. Ainsi, vous serez sûrs d'avoir la plus petite période, c'est-à-dire celle correspondant à une seule répétition.

De ce que je viens de dire en rouge, vous pouvez déduire que :

`T_s = kT`

Où T_s est la période du stroboscope (donc l'inverse de sa fréquence), T la période de l'onde/roue, et k un entier naturel (0, 1, 2, 3,..., n).

A l'aide d'une porte laser

Cette méthode est bien moins utilisée (car plus coûteuse), mais il est toujours bon de la connaître. Une porte laser, c'est en fait une lampe laser et un récepteur photosensible (sensible à la lumière), le tout relié à un chronomètre précis. Ce chronomètre se déclenche au premier passage du point (car le rayon de la roue "coupe" le rayon lumineux) et s'arrête à la coupure suivante, c'est-à-dire lorsque le point repasse devant le capteur.

Cette solution impose que votre roue n'aie qu'un seul rayon, ce qui n'est pas très courant, j'avoue . Mais attention, par rayons, je n'entends pas le rayon d'un cercle mais bien ces gros fils métalliques qui relient l'extérieur de la roue au centre!

Onde périodique à 1 dimension

Nous allons maintenant nous pencher plus en détail sur les ondes périodiques, en prenant le cas le plus simple, celui d'une onde à une seule dimension (vous vous souvenez ? celles qui se propagent le long d'une corde, par exemple).

Pour toute cette partie, on considèrera une source qui imposera une perturbation périodique et sinusoïdale au milieu de propagation (une échelle de perroquet - je vous laisse chercher de quoi il s'agit - ou encore une corde).

Périodicité temporelle

Voici ce que pourrait donner notre système :

On remarque vite que le point M n'est pas toujours au même niveau que S (son élongation est différente), mais que ce même point M suit une trajectoire qui se répète. Tenez, je vais, sur un schéma, dessiner les deux courbes : la première débutera au point S, la seconde au point M. Voyez plutôt :

Ici, on voit bien que l'onde a une période de T secondes. C'est le temps nécessaire pour que le motif se répète. Voici maintenant le même graphique, mais en placant l'origine des axes au niveau du point M.

Vous remarquerez que le T (la période pour que, au niveau du point M, le motif se répète) est exactement le même ! Non non, ce n'est pas une illusion d'optique .

Qu'est ce que cela signifie ? Tout simplement que c'est la source S qui impose sa période à toute la corde.

Périodicité spatiale

Après avoir étudié la périodicité dans le temps, nous allons voir que nos ondes sont également périodiques dans l'espace, c'est-à-dire selon l'axe des abscisses x (car nous ne travaillons que sur une dimension). Cette sous-partie sera très rapide, simplement car il n'y a pas grand-chose à en dire. Voici par exemple un schéma de notre corde, à un instant donné :

Attention ! Remarquez que le libellé de l'axe horizontal a changé ! Ce n'est plus le temps t mais la position x ! Ne vous faies pas piéger !

Sur ce schéma, il y a peut-être un symbole que vous ne connaissez pas : il s'agit de `lambda`. Il s'agit de la longueur d'onde, autrement dit, le nombre de mètres nécessaires pour que le motif se répète. C'est en quelque sorte la mesure (en mètres) d'une période de l'onde.

Je vous avait promis une sous-partie courte, vous l'avez .

Récapitulons !

Si l'on devait le résumer en quelques mots, nous dirions que l'onde possède une double périodicité :

• Temporelle, de période T (en secondes)
  
• Spatiale, de période `lambda` (en mètres)

Mathématiquement, on peut dire les choses suivantes :

• Il y a périodicité temporelle, si, pour tout point d'abscisse x:

`y(x,t)=y(x,t+n.T)`

` `

• Il y a périodicité spatiale, si, pour tout point d'abscisse x :

`y(x,t)=y(x+klambda,t)`

Ainsi, nos ondes seront doublement périodiques si :

`y(x,t)=y(x+klambda, t+n.T)`

Veillez bien à ne pas confondre périodes spatiales et temporelles !

Lien entre période et longueur d’onde

Vous vous doutez sûrement qu'il y a un lien entre les deux types de périodes...Bingo ! En effet, je l'ai dit plus haut, la longueur d'onde correspond à la distance parcourue par l'onde en une période temporelle. Ainsi, on peut la calculer comme étant le produit de la célérité de l'onde et de la période temporelle :

`lambda=v.T`

La formule est correcte, car des m.s^-1 (de v) fois des secondes (de T) font bien des mètres (de `lambda`!)

Lorsque deux points sont espacés d'un nombre entier de périodes, on dit qu'ils vibrent en phase.

Cas des ondes à 2 ou 3 dimensions

Les ondes à une dimension, c'est bien, mais c'est...comment dire...pas vraiment courant. On a plus l'habitude de voir des ondes à 2, ou 3 dimensions !

Ondes sur l’eau

Dans la catégorie des ondes à 2 dimensions, j'ai nommé...les ondes sur l'eau ! Dans leur cas, vous pouvez aisément déterminer si deux points sont en phase ou pas. Regardez sur mon schéma, ça devrait vous sembler évident :

Ici, les deux points sont en phase si `d_(M')-d_M = k.lambda`. On a bien fait de définir la longueur d'onde, ça simplifie pas mal les choses !

Ondes sonores

Dans le cas des ondes à 3 dimensions (typiquement, les ondes sonores), la situation est strictement la même. Je vous fais quand même le schéma pour que vous visualisiez bien le raisonnement.

Encore une fois, 2 points M et M' sont en phase si...Si quoi tiens ? C'est le moment de voir si vous avez compris la logique !

...

...

...si ` ``d_(M')-d_M = k.lambda`. Eh oui, c'est exactement la même formule ! Logique ? Oui, car on garde les mêmes distances, et...on peut ruser en considérant que les deux points sont sur un même plan, et ainsi se défaire de la troisième dimension !

Diffraction et dispersion

Je vais finir ce chapitre un pied dans le suivant, en vous parlant des phénomènes incontournables que sont la diffraction  et les milieux dispersifs. Alors allons-y méthodiquement, et vous arriverez bientôt au bout de vos peines !

La diffraction

Lorsqu'une onde sur l'eau rencontre un obstacle comportant une ouverture de largeur a, on distingue 2 cas de figure :

• Si a est supérieur à `1/10 ^e` de la longueur d'onde : il ne se passe rien, l'onde continue son chemin comme si elle n'avait rien vu.
• Si a est inférieur à `1/10^e` de la longueur d'onde, on constate ce phénomène :

(Source)

En passant l'ouverture de l'obstacle (ici le Détroit de Gibraltar), l'onde n'a pas changé de longueur d'onde, mais elle s'est mise à partir dans toutes les directions possibles ! On dit qu'elle été diffractée, ou qu'elle a subi un phénomène de diffraction.

Les milieux dispersifs

Je n'en parle qu'en bref, car nous aurons (encore une fois) l'occasion d'en parler plus amplement au chapitre suivant.

Un milieu est dispersif si la vitesse d'une onde dépend de sa fréquence.

L'eau, par exemple, est un milieu dispersif, et cela explique les arcs-en-ciel : les différentes couleurs composant la lumière solaire se décomposent car chaque "couleur" a une fréquence différente. Les couleurs se séparent, pour le plaisir de vos yeux .

L'air, par contre, n'est pas dispersif. S'il l'était, vous entendriez à deux moments différents deux guitaristes jouant en même temps une note différente !

Ce chapitre est (déjà !) fini... Vous commencez à connaître vraiment pas mal de choses sur les ondes: périodicité spatiale et temporelle, diffraction, etc. Alors je ne vous demanderais qu'un dernier petit effort sur ce sujet, en vous invitant à passer au dernier chapitre de cette section!